Zabieramy się za zbiory

Jesień, czas na zbiory. Nie o takich zbiorach chcę dziś pisać, ale zbiory to też świetna okazja do zbiorów!

Skąd pomysł, by pisać o zbiorach? Przecież nie ma ich w podstawie programowej (pojawiają się dopiero w klasach 7-8 i liceum)? To tylko pozory. Rozmowa o zbiorach to świetna lekcja logicznego myślenia, klasyfikowania, porządkowania, która potem ułatwia zrozumienie wielu zagadnień. Klasyfikacja trójkątów czy wielokątów, podzielność liczb – to tylko niektóre zagadnienia, w których dobrze to wyobrażenie o zbiorach mieć. Wiele ćwiczeń możemy dopasować do potrzeb nawet przedszkolnych dzieci. A ostatnie zaproponowane ćwiczenia to już poziom konkursowy (choć dzięki wiedzy jak się do nich zabrać, okażą się całkiem proste!).

Badanie zbiorów może być doskonałą zabawą, zobaczcie sami! Wprowadzam też przy okazji kilka pojęć, choć nie uważam, by ich nauka była kluczowa. Warto jednak oswoić to nazewnictwo, bo wykorzystujemy je w wielu sytuacjach.

Jak wygląda zbiór?

Dobrze wyrobić w dziecku skojarzenie słów „zbiór” i „zbiorowisko”. Bo zbiór to pewne zbiorowisko elementów. Może ich być dużo lub mało, elementy mogą mieć jakąś wspólną cechę, albo możemy takiej cechy nie dostrzegać. Mogą być naturalne, dostrzegalne w otoczeniu, albo zupełnie sztuczne, „bo taką mamy ochotę”. Pierwsze kojarzą się dzieciom z zabawą w detektywa – badanie, analizowanie. Drugie ma dużo wspólnego ze sztuką i twórczym działaniem!

Często elementy należące do jakiegoś zbioru chcemy oznaczyć, by ułatwić sobie myślenie o zbiorze. Ja wykorzystałam kolorowe wstążki, którym dorobiłam kartoniki umożliwiające podpis (pokryłam je taśmą klejącą, żeby móc podpis zmienić). Wystarczy więc kawałek sznurka i podpis (może być karteczka położona obok sznurka, jeśli tak będzie łatwiej) – i już!

Zaczynamy zabawę: określamy, jaki zbiór chcemy mieć w naszej pętli i zapraszamy dziecko do zabawy! Na początku proponuję wkładanie do pętli elementów pewnego zbioru: chciałabym mieć w pętli zbiór żółtych kredek (czy to już wszystkie elementy naszego zbioru? ile elementów ma zbiór żółtych kredek w naszym domu?). Na dalszym etapie dziecko może patrząc na elementy (włożone przez rodzica/nauczyciela lub inne dziecko) próbować opisać zbiór, zauważając jakąś wspólną cechę włożonych przedmiotów (np. mogą to być skarpetki Kasi, przybory kuchenne, owoce które lubię itp.). Czujemy już, co to jest zbiór?

Jest jeszcze jeden bardzo wyjątkowy zbiór – zbiór pusty. Możemy określić go na wiele sposobów, i to również można pokazać dziecku w formie doskonałej zabawy. Ułóżmy przed sobą pustą pętlę i powiedzmy, że to np. „zbiór ludzi, którzy potrafią latać” albo „zbiór metalowych owoców rosnących na drzewach”. Razem z dzieckiem możemy wymyślić jeszcze wiele, wiele innych nazw, wystarczy uruchomić wyobraźnię! Na koniec szaleństwa warto opowiedzieć dziecku, że taki zbiór bez żadnych elementów nazywamy zbiorem pustym. I że tak naprawdę zbiór pusty jest tylko jeden, choć można na wiele sposobów możemy do opisać.

Dwa zbiory – niby tylko dwa, a ile możliwości!

No dobrze, a co gdy pojawi nam się kilka zbiorów? My wykorzystaliśmy dwie wstążki i ludziki duplo. Zaczęliśmy od najbardziej naturalnej sytuacji dla dziecka, gdy dokonujemy podziału jakiegoś zbioru (u nas są to ludziki) na dwa zbiory. Ja poprosiłam dzieci, żeby podzieliły ludziki na „panie” i „panów”. Zrobiły to błyskawicznie, choć nie przewidziałam jednego…

…dyskusji nad płcią Myszki Miki 😀 Ostatecznie pozostała poza zbiorami. Tym samym odkryliśmy, że pełen podział ludzików musiałby uwzględnić jeszcze jedną kategorię. Nasze zbiory są rozłączne, ale nie wyczerpują wszystkich elementów – poza nimi znajduje się Myszka Miki. Jeśli mamy do czynienia z podziałem, to liczba wszystkich elementów to nic innego jak suma liczb elementów w poszczególnych zbiorach. Ale nie zawsze tak jest – zbiory potrafią być zaskakujące!

Potem przyszedł czas na kolejne zadanie. Tu pojawiło się między dziećmi sporo dyskusji i kombinowania. Warto dzieciom dać czas, bo rozwiązanie nie jest oczywiste. Odkrycie go samodzielnie jest, jak zawsze, znacznie bardziej ubogacające niż to „podane na tacy”. Tym razem poprosiłam dzieci, by w jednej wstążce znalazł się zbiór panów, a w drugiej – zbiór ludzików z czarnymi włosami (by uniknąć chociaż części dyskusji, umówiliśmy się, że ci w kaskach nie mają włosów :D). Wiedzieliśmy już, że panie z jasnymi włosami mogą znaleźć się poza zbiorami – ufff, jedna rzecz już za nami. Natomiast panowie z czarnymi włosami przeskakiwali z jednego zbioru do drugiego. Po krótkiej chwili przyszło olśnienie – wstążki można ze sobą skrzyżować! Zobaczcie gotowe rozwiązanie:

To co znajduje się w obu zbiorach, nazywamy częścią wspólną zbiorów (albo iloczynem zbiorów, ale ta nazwa jest dla dzieci bardzo myląca i ja z młodszymi dziećmi jej nie używam). U nas są to panowie z czarnymi włosami. Tu dzieci same zauważyły, że niektóre zbiory, o których mówiliśmy (np. żółte kredki) to część wspólna innych zbiorów (np. zbioru żółtych przedmiotów w naszym domu i zbioru kredek).

Teraz pora na zagadkę (o ile lepiej to brzmi w uszach niektórych dzieci niż zadanie!). Wyobraźcie sobie szkołę językową, w której uczy się 10 osób. Na zajęcia z języka angielskiego przychodzi 5 osób, a na zajęcia z języka niemieckiego uczęszcza 7 osób. Trzy osoby chodzą zarówno na angielski, jak i na niemiecki. Ile jest osób, które nie chodzą ani na angielski, ani na niemiecki? Czy w ogóle takie są?

Pierwszy odruch jednego z moich synów był taki: „skoro jest 10 osób, to nie może na jednych zajęciach być 5, a na drugich 7! To nie-moż-li-we!” (to doświadczenie zbiorów rozłącznych tak nam po głowie chodzi!). A jednak! Starszy brat szybko wyłowił tę informację, która podpowiada nam jak – 3 osoby są na jednych i drugich zajęciach, więc liczą się jakby „podwójnie”. Złapali za wstążki, ustawili ludziki (nie myślcie sobie, przekładali je kilka razy zanim wszystko się zgadzało!) i już – ani na angielski, ani na niemiecki, nie chodzi dokładnie jedna osoba 🙂

Zwykle jeśli początkowo nie wiemy nic o zbiorach, które rozważamy, rysujemy je symbolicznie tak jak wyżej – w postaci dwóch przecinających się pętli. W trakcie analizy może się okazać, że któraś z części okaże się pusta, to jednak niewielkie zmartwienie… 🙂

I na koniec jeszcze jedno pojęcie, które pokazuje, że nie poznaliśmy jedynych dwóch „opcji”. Tym razem poprosiłam o umieszczenie we wstążkach zbioru ludzików w okularach i zbioru panów. Wiedzieliśmy już, że ktoś może być w obu zbiorach naraz więc poszło szybko. Tym razem jednak w granatowej wstążce nie ma nikogo poza panem w okularach! To znaczy, że moglibyśmy całą granatową wstążkę umieścić w różowej i nadal wszystko by się zgadzało. Tu dzieci szybko zakrzyknęły, że przecież ja tam mogę stanąć (na potrzeby zdjęcia nawet podarowałam swoje okulary kapciom :D). W tej sytuacji tak, ale nie zawsze tak jest – zbiór widelców leży w całości w zbiorze sztućców (i widelca, który nie jest sztućcem nie znajdziemy… chyba, bo dzieci mają ogromną wyobraźnią), zbiór skarpetek zawiera się w całości w zbiorze ubrań itp. W takiej sytuacji mówimy, że jeden zbiór jest podzbiorem drugiego.

Oczywiście jeśli chcecie możecie wykonywać działania na zbiorach i opisywać je słownie. To bardzo proste, ale nadal pouczające. Jakie elementy leżą w obu wstążkach (to część wspólna)? Jakie nie leżą w żadnej? Które elementy leżą w granatowej wstążce, ale nie leżą w różowej (to różnica tych zbiorów – może też być odwrotnie, kolejność ma znaczenie przy różnicy)?

Trzy zbiory – morze możliwości i intelektualne wyzwania

Na sam koniec zaprosiłam dzieci to zabawy z trzema wstążkami. W jednej umieszczaliśmy panie, w drugiej – osoby z czarnymi włosami, w trzeciej – osoby z niebieskimi spodniami. Na pierwszym zdjęciu widać początki pracy, na drugim – efekt końcowy, już uporządkowany.

Celowo dobrałam zbiory tak, aby wśród naszych ludzików pojawiła się każda możliwa „opcja” (np. część wspólna wszystkich trzech zbiorów, albo część wspólna dwóch zbiorów poza trzecim zbiorem). Dzięki temu uzyskany kształt odpowiada temu, jak zwykle przedstawiamy trzy zbiory w ogólny sposób – są to trzy przecinające się odpowiednio pętle (zwykle koła). Taki rysunek zbiorów nazywamy diagramem Venna. Jest on bardzo przydatny do obliczania liczby elementów w poszczególnych częściach, szczególnie gdy nie mamy wstążek i ludzików pod ręką 😉

Dla tych, którzy lubią pogłówkować, kolejna zagadka o szkole językowej. Tym razem wiemy, że w szkole uczy się 20 osób oraz

  • 12 z nich uczy się języka angielskiego,
  • 10 z nich uczy się języka niemieckiego,
  • 8 z nich uczy się języka hiszpańskiego,
  • 6 z nich uczy się zarówno angielskiego, jak i niemieckiego,
  • 5 z nich uczy się i niemieckiego, i hiszpańskiego,
  • 3 z nich uczą się i angielskiego, i hiszpańskiego,
  • 2 z nich uczą się zarówno angielskiego, jak i niemieckiego, i hiszpańskiego.

Ile osób uczy się dokładnie jednego z tych języków? Ile osób nie uczy się ani angielskiego, ani niemieckiego, ani hiszpańskiego?

Zadanie jest zainspirowane zadaniem umieszczonym na stronie https://www.staszic.waw.pl/kandydaci/matex (rok 1993) – różni się tylko tym, że tam mamy do czynienia z większymi liczbami. Nie przeraźcie się tym, że to zadania dla zdolnych zdających do liceum. Zadanie może być naprawdę proste, jeśli zabierzemy się za nie od odpowiedniej strony, a tak na prawdę… od środka 😀 Więcej nie będę tu zdradzać, ale jeśli potrzebujecie więcej wskazówek, to dajcie znać 🙂

Ruszamy dalej?

Kusi, żeby zabrać się za cztery zbiory. Tu już sprawa nie jest taka prosta – nie da się ułożyć czterech wstążek w taki sposób, by powstały wszystkie możliwe „części”, a każda z nich „w jednym kawałku”. Rzadko więc widzimy diagram Venna dla takiej sytuacji. Raczej analizujemy wstępnie sytuację, by odkryć jakieś zależności między zbiorami i uwzględnić to przy poglądowym rysunku.

Świetnie sprawdzają się na przykład „skrzyżowania dwóch podziałów”, na przykład analiza kredek i flamastrów w podstawowych kolorach. Kredki i flamastry możemy umieścić w dwóch kolumnach tabeli, a w wierszach odpowiednie kolory: żółty, czerwony i niebieski. Takie „kratki” zobaczymy jeszcze nie raz.

Bo zbiory są wszędzie tam, gdzie klasyfikujemy, dzielimy, analizujemy. Jeszcze nie raz je spotkamy, zobaczycie!

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *