Ile skarbów kryje duża skrzynia i trzy małe, czyli początki z algebrą

Pisałam już, jak odpowiedziałam na pytanie, czy litera może oznaczać liczbę. Dziś chcę rozwinąć temat wprowadzenia do algebry. Dzisiejsze ćwiczenia będą prowadzić do zapisywania wyrażeń algebraicznych. A następnym razem będziemy badać sposoby przekształcania tych wyrażeń 🙂

Wyrażenie algebraiczne jako przepis na rozwiązanie

Często zaczynając pracę z wyrażeniami algebraicznymi zapraszam dzieci do powrotu do łatwych zadań z treścią (na przykład z podręczników do drugiej/trzeciej klasy). Tym razem jednak zaklejam wybraną liczbę w zadaniu małą samoprzylepną karteczką. Na karteczce piszę wybraną małą literę (można użyć tradycyjnego x, ja często używam też litery związanej z tym, co oznacza, np. liczbę baloników oznaczam literką b).

• 

• 

Teraz zapraszam dziecko, żeby zapisało działanie, które należy wykonać, aby rozwiązać zadanie. Zakrytą liczbę zastępują jednak literą umieszczoną na karteczce. Jeśli dla dziecka jest to zbyt abstrakcyjne, możemy pomóc mu pytaniem: “a gdyby tą zakrytą liczbą było 14? Jak byś to policzył(a)?”.

Najlepiej zacząć od zadań wymagających jednego działania. Dopiero kolejnym etapem są rozwiązania kilkuetapowe. Mogą one być trudniejsze dla dziecka, ponieważ zwykle rozwiązując, nie układa od razu złożonego wyrażenia, ale wykonuje kolejne etapy, przeprowadzając obliczenia. Jeśli tutaj pojawi się bariera, warto razem z dzieckiem opisać kolejne etapy.

Ważnym etapem jest również sprawdzenie, czy zapisane wyrażenie algebraiczne jest poprawne. Wystarczy w tym celu odsłonić liczbę i poprosić dziecko o rozwiązanie zadania. Następnie wstawiamy odkrytą liczbę do wyrażenia algebraicznego, i obliczamy wynik uzyskanego działania.

Skarby bohaterów

Lubię ćwiczyć wyrażenia algebraiczne, odgrywając małe scenki. Pokażę je na przykładzie bohatera, który chowa zdobyte skarby w skrzyniach.

Jako skrzyń używamy własnoręcznie zrobionych pudełek (nie sklejamy ich, dzięki temu możemy przetrzymywać je w płaskiej postaci). Jeśli macie ochotę zrobić takie same, możecie pobrać nasz szablon na pudełko z pokrywką:

Na początku to ja zostaję bohaterem i ukrywam w skrzyniach (pudełkach podpisanych literami) skarby. Zadaniem dziecka jest określenie za pomocą wyrażenia algebraicznego, ile mam razem skarbów w moich skrzyniach? Jak dokładnie wyglądają takie sytuacje? Na przykład tak (w nawiasach podaję przykładowe odpowiedzi, nie są to wszystkie możliwości!):

• część skarbów ukrytych w pudełku “x”, a obok skrzyni jeszcze 2 skarby (razem mam x+2 skarby),
• trzy skrzynie z podpisem “x” (razem mam 3·x lub x·3 lub x+x+x skarbów),
• skrzynia z podpisem “x”, skrzynia z podpisem “y” i skrzynia z podpisem “z” (razem mam x+y+z skarbów)
• dwie skrzynie z podpisem “u” i trzy skarby obok skrzyń (razem mam u+u+3 lub 2·u+3 lub u+3+u)
• skrzynia z podpisem “x”, druga niepodpisana i dodatkowa informacja, że w drugiej skrzyni są 2 skarby więcej niż w pierwszej (razem mam x+(x+2) lub x+x+2 lub 2·x+2 skarbów)
• skrzynia z podpisem “a”, druga niepodpisana i dodatkowa informacja, że w drugiej skrzyni jest dwa razy więcej skrabów niż w pierwszej (razem mam a+(2·a) lub a+2·a lub 3·a skarbów)

Jeśli dziecko zaproponuje błędne wyrażenie, nie przejmujemy się tym, po prostu przechodzimy do drugiego etapu. Na czym on polega? Odkrywamy podpisane pudełka i zastępujemy litery w zaproponowanym przez dziecko wyrażeniu odpowiednimi liczbami. Następnie obliczamy wartość wyrażenia i sprawdzamy, czy zgadza się z rzeczywistą liczbą skarbów. Jeśli nie, to zastanawiamy się wspólnie, dlaczego? Jak można “naprawić” wyrażenie?

Możemy włączyć dziecko (a nawet kilkoro) do wkładania skarbów, gdy rozumie już zasadę, że w pudełkach z tą samą literą musi znaleźć się tyle samo skarbów. Ja często proponuję wtedy zadania o dwóch bohaterach i pytanie o to, ile mają razem? Ile ma każdy z nich? Na przykład tak:

• jeden bohater ma trzy skrzynie podpisane “x”, drugi bohater ma dwie skrzynie z podpisem “y” (razem mają x+x+x+y+y lub 3·x+2·y)
• sytuacja jak wyżej, ale pierwszy bohater przekazuje jedną ze skrzyń drugiemu (niektóre dzieci zauważą, że razem skarbów jest nadal tyle samo, inne opiszą to np. jako 2·x+2·y+x albo 3·x-x+2·y+x)

Tutaj warto na początku każdej historii używać innych liter u każdego z bohaterów, aby każdy mógł niezależnie decydować o ilości ukrywanych skarbów. Najlepiej też, jeśli każda skrzynia jest podpisana (część skarbów może leżeć również obok skrzyń) – dzieci na początku mają problem żeby podać zestaw informacji, który pozwala na obliczenie łącznej wartości skarbów.

Geometria – naturalna przestrzeń na wyrażenia algebraiczne

Geometria jest pierwszym miejscem, gdzie dziecko spotka się w wzorami. Czemu akurat tam? Okazuje się, że jest to bardzo naturalne miejsce. Prostokąty są też świetnym sposobem na poznawanie sposobów na przekształcanie wyrażeń algebraicznych, szczególnie tam, gdzie pojawia się mnożenie. Tym zajmiemy się kolejnym razem.

Tym razem w pudełkach ukrywam długości pewnych odcinków (np. w formie tasiemki odpowiedniej długości, może być podzielona kreskami na odcinki centymetrowej długości, żeby łatwiej było sprawdzić miarę). Prosimy dziecko, żeby spróbowało za pomocą wyrażenia algebraicznego napisać “przepis” na obliczenie obwodu czy pola:

• obwodu trójkąta o bokach a, b, c,
• obwodu trójkąta równoramiennego o podstawie p i ramionach r,
• obwodu trójkąta, w którym jeden bok ma długość a, drugi jest o 1cm dłuższy, a trzeci jest o 2cm dłuższy od pierwszego,
• obwodu równoległoboku o bokach a, b,
• obwodu kwadratu o boku b,
• pola prostokąta o bokach a, b,
• pole równoległoboku o boku a i wysokości h opuszczonej na ten bok.

• 

•