Rozszerzanie i skracanie ułamków zwykłych

Ułamki zwykłe można w sporym zakresie poznawać bez nauki rozszerzania i skracania. Pisałam już o ich wprowadzaniu, o ułamkach niewłaściwych i liczbach mieszanych oraz (częściowo) o porównywaniu ułamków zwykłych. Praca z ułamkami na konkrecie doskonale wyrabia intuicje i… po raz kolejny pozwala na samodzielne odkrywanie matematycznych reguł. Tym razem chciałabym opowiedzieć o rozszerzaniu i skracaniu ułamków, które w pewien sposób są bramą do dalszego poznawania ułamków zwykłych.

Poniższe opisy odnoszę do pomocy z ułamków zwykłych, która zawiera ułamki z mianownikami nie przekraczającymi 10 (można je pobrać do wydruku w zakładce Narzędzia). W sklepach z pomocami Montessori dostępne są również ułamki o mianownikach 11-20, ale przyznam, że nie polecam ich używania – różnice między nimi są na tyle małe, że dziecko może łatwo dojść do błędnych wniosków. Jeśli już się na nie zdecydujemy, polecam wybrać takie wykonane z grubego tworzywa, by dało się precyzyjnie je układać. Ograniczony zakres materiału jest też zachętą do wejścia w abstrakcyjne myślenie i oderwania się od konkretu – tylko nieliczne dzieci będą potrzebowały większego zakresu materiału.

Od czego zacząć?

Trochę przekornie napiszę, że moim zdaniem najlepiej zacząć od… upieczenia/zamówienia pizzy 🙂 Rozszerzanie ułamków łączy się z podziałem na mniejsze kawałki i najlepiej zrobić to po prostu w praktyce.

My naszą pizzę pokroiliśmy początkowo na sześć kawałków. To oznacza, że każdy z nich to jedna szósta. A gdybyśmy teraz przekroili każdy z kawałków na dwa mniejsze? Szybki eksperyment i już wiemy – powstało dwanaście części, więc każda z nich to jedna dwunasta pizzy.

Równie dobrze możemy zrobić to ćwiczenie na pomocy, tyle że musimy zacząć od mniejszego mianownika (żeby po podziale otrzymać mianownik nieprzekraczający 10). Zawsze zaczynamy od całości podzielonej na części, a następnie rozważamy, co będzie jeśli każdą z części rozmienimy/przekroimy na kilka jednakowych. Ważne, by omawiać z dzieckiem wszystkie etapy, nazywając wykonywane działania, na przykład w taki sposób: Jeśli części było 5, i każdą z nich przetniemy na dwie jednakowe, to otrzymamy 5×2=10 części. W takim razie po podzieleniu części piątych na dwa razy mniejsze, otrzymamy części dziesiąte. Warto też zapisać równość: pięć piątych to dziesięć dziesiątych.

Co może sprawić dzieciom trudność? Dla niektórych bardzo zaskakujące i niezgodne z początkową intuicją jest to, że gdy DZIELIMY na mniejsze kawałki, to musimy POMNOŻYĆ mianownik przez odpowiednią liczbę. Praca na konkrecie ułatwia przejście przez ten etap wielu dzieciom, ale musimy być świadomi, że niektóre z nich potrzebują spędzić nad tym sporo czasu, zanim przejdą do abstrakcyjnego etapu pracy.

Jeśli dziecko potrafi już wykonać tę pracę na konkrecie, możemy spróbować przejść na poziom abstrakcji, na przykład: a gdybyśmy mieli części siódme i każdą z nich przekroili na trzy jednakowe, to jakie części byśmy otrzymali? Jeśli jest to dla dziecka trudne, może spróbować to sobie narysować, kroić pizzę czy jabłko, rozcinać papierowe koło itp. (ułamki do druku można znaleźć w Narzędziach).

A jeśli ktoś już nam trochę pizzy wyjadł?

Dopiero na etapie, kiedy wiemy jakie części można otrzymać „przekrajając” inne na mniejsze, zbliżamy się do pojęcia rozszerzania ułamków. Będziemy dochodzić do niego bardzo podobnie jak poprzednio, tyle że tym razem liczba części (licznik) różni się od rodzaju części (mianownik). Zaczynamy od ułamka z mianownikiem 1 i odwołujemy się do wcześniejszych doświadczeń. Kładziemy przed sobą ułamek, na przykład 1/3. Następnie odwołując się do poprzedniego etapu, możemy zapytać dziecko lub zadać sobie pytanie o to, jakie części powstaną, jeśli rozetniemy tę 1/3 na dwie jednakowe części. Powstaną części szóste. A ile ich będzie? Dwie! W takim razie otrzymujemy ułamek 2/6 i równość do zapisania: 1/3=2/6.

Teraz pora na większy mianownik, pokażę ten etap na przykładzie ułamka 3/5. Układamy ułamek z materiału przed sobą i znów zastanawiamy się, co powstanie, jeśli każdy z elementów (czyli każdą część piątą) przetniemy na dwie jednakowe części. Wiemy już, że otrzymamy części dziesiąte. Ile ich będzie? Z każdej części piątej otrzymamy dwie części, więc wszystkich części będzie 3×2=6. W takim razie uzyskaliśmy ułamek 6/10 i równość do zapisania: 3/5=6/10.

Oczywiście koniecznie musimy zobaczyć, jak to działa, gdy weźmiemy inne ułamki, a przede wszystkim, gdy będziemy rozcinali na inną liczbę części. Na materiale nie można zrobić zbyt dużo takich przykładów (możemy „kroić” części drugie i trzecie na trzy, „krojenie” na cztery lub pięć części można wykonać tylko na częściach drugich).

Warto też zakończyć ten etap sformułowaniem konkretnej zasady, np. tak: jeśli pomnożymy licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, to otrzymany ułamek jest równy wyjściowemu.

Wszystkie przykłady, które można wykonać na podstawowej pomocy montessoriańskiej (ułamki o mianownikach do 10), znajdziecie w Bazie 71. Kolejna baza zawiera analogiczne zadania, ale wymuszające wejście w myślenie abstrakcyjne.

Co dalej? Plan wyprawy krok po kroku

Gdy umiemy już rozszerzać ułamki, możemy pójść dalej. Jednym z tropów jest skracanie ułamków. Znów podstawową umiejętnością w tym zakresie jest skracanie ułamków przez podaną z góry liczbę. Najłatwiej przedstawić je dziecku jako proces odwrotny, w którym mniejsze części zbieramy po kilka i zamieniamy na większe. Jeśli wcześniej wprost nazwaliśmy rozszerzanie jako mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę, to tym razem wystarczy kilka przykładów (a niektórym dzieciom nawet przykładów nie trzeba…) żeby zobaczyć, że tym razem licznik i mianownik trzeba podzielić przez tę samą liczbę.

Kolejne zadania są coraz bardziej złożone, warto więc spokojnie stopniować trudność. Spróbuję kiedyś napisać więcej o skracaniu ułamków, bo warto szukać z dzieckiem różnych sposobów na ten złożony proces. Póki co zbieram etapy potrzebne do rozwiązania poszczególnych rodzajów zadań – mam nadzieję, że to pozwoli dorosłym docenić pracę dzieci i dostosować kolejne propozycje zadań do ich możliwości. Do rozszerzania ułamków (poza rozszerzaniem dwóch ułamków do wspólnego mianownika) są już gotowe Bazy – wierzę, że pomogą wprowadzić dzieci w poszczególne zagadnienia i bez problemów powędrować dalej 🙂

W ciągu dalszej pracy nad rozszerzaniem i skracaniem ułamków możemy między innymi:

  • rozszerzać ułamek do ułamka o zadanym mianowniku (Baza 74)
    • najpierw musimy na podstawie mianowników zobaczyć na ile części „kroimy”
    • obliczamy szukany licznik
  • rozszerzać ułamek do ułamka o zadanym liczniku (Baza 73)
    • najpierw musimy na podstawie mianowników zobaczyć na ile części „kroimy”
    • obliczamy szukany licznik
  • rozszerzać dwa zadane ułamki do wspólnego mianownika
    • znajdujemy wspólny mianownik (na początku możemy nie wymagać, by był najmniejszy, ale warto jak najwcześniej zacząć o to dbać)
    • obliczamy, przez ile trzeba rozszerzać każdy z ułamków
    • obliczamy liczniki rozszerzanych ułamków
  • skracać ułamek
    • szukamy liczby, która jest dzielnikiem licznika i mianownika
    • skracamy przez znalezioną liczbę
    • warto pamiętać, że to poszukiwanie może mieć różną trudność, w zależności od wybranego ułamka, np. może mieścić się w zakresie tabliczki mnożenia, być możliwe do zrealizowania przez cechy podzielności lub wymagać bardziej złożonego procesu
  • sprawdzać, czy ułamek jest skracalny czy nieskracalny
    • szukamy wspólnego dzielnika licznika i mianownika
      • odwołując się do tabliczki mnożenia lub innych charakterystycznych cech licznika/mianownika,
      • korzystając z cech podzielności,
      • lub szukając wszystkich dzielników pierwszych licznika/mianownika i sprawdzając, czy któryś z nich dzieli również mianownik/licznik
    • jeśli taki wspólny dzielnik znajdziemy, to ułamek jest skracalny. Jeśli wspólnego dzielnika większego od 1 nie ma, to ułamek jest nieskracalny.
    • Proces szukania wspólnego dzielnika licznika i mianownika musimy przeprowadzać w uporządkowany sposób, aby mieć pewność, że jedynym wspólnym dzielnikiem jest 1 (możemy sprawdzać wszystkie dzielniki pierwsze mniejsze od którejś z liczb, możemy znaleźć wszystkie dzielniki jednej z liczb i sprawdzić czy dzielą drugą itp.)
  • skracać ułamek do ułamka o zadanym liczniku lub mianowniku
    • na podstawie znanych liczników/mianowników określamy, przez jaką liczbę będziemy skracać
    • dzielimy licznik i mianownik przez znalezioną liczbę
  • skracać ułamek do postaci nieskracalnej
    • powtarzamy proces skracania tak długo aż…
    • sprawdzimy, że otrzymany ułamek jest nieskracalny

Rozszerzanie i skracanie… takie krótkie hasło, a ile w sobie kryje! Pozwólmy dziecku zatrzymać się, jeśli tego potrzebuje, sprawdzić się w różnych zadaniach. Każde z nich (a szczególnie doprowadzanie do postaci nieskracalnej oraz sprowadzanie do wspólnego mianownika) są podstawą do ogromnej liczby umiejętności… Ale o tym już następnym razem 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *