Mnożenie przez liczbę jednocyfrową – jak zobaczyć, że to proste?

Dziś chciałabym (nareszcie!) opowiedzieć o tym, jaki pomysł na mnożenie miała Maria Montessori. Co można zrobić, by krok po kroku przejść od dodawania małych liczb na konkrecie, przez wprowadzenie pojęcia mnożenia aż do mnożenia wielkich liczb (a nawet dalej, ale o tym już w kolejnych wpisach)? Dziś chcę się skupić na mnożeniu wielkich liczb przez liczbę jednocyfrową. Zakładam, że dziecko zna już pojęcie mnożenia i potrafi obliczyć/przywołać z pamięci wyniki tabliczki mnożenia – ten etap przypada wcześniej niż klasy 4-6, na których się skupiam. Jeśli jest potrzeba, żebym napisała więcej o wprowadzeniu mnożenia małych liczb i nauce tabliczki mnożenia – dajcie znać.

Zaczynamy od początku

Zaczniemy od początku. Dziecko wie już, że mnożenie to nic innego jak dodawanie kilku takich samych składników. Dlatego mnożenie większych liczb warto zacząć od takiego ćwiczenia. Prosimy je o przyniesienie z materiału jakiejś liczby, np. 142 (może przynieść złoty materiał lub znaczki, w zależności od tego, jakim materiałem dysponujemy). Następnie prosimy kolejne dziecko (lub jeśli nie ma więcej dzieci, prosimy ponownie to samo) o przyniesienie takiej samej liczby. Teraz kładziemy obie liczby razem na tacy i obliczamy: ile to jest razem? W ten sposób otrzymujemy (i mówimy o tym dzieciom), że 142 razy 2 to 284. Warto powtórzyć to ćwiczenie kilka razy, czasem z trojgiem dzieci (lub trzykrotnym przynoszeniem), ale proponuję by początkowo były to przykłady nie wymagające przekraczania progu dziesiątkowego przy odczytywaniu wyniku.

Na kolejnym etapie robimy dokładnie to samo, układając odpowiednią liczbę kopii mnożonej liczby jedną pod drugą. Obok każdej z nich możemy postawić zielony pionek – pomoże nam to na etapie wprowadzania mnożenia przez liczbę wielocyfrową.

Warto od samego początku uczyć dzieci zapisu mnożenia pisemnego. Zachęcam też by od początku uczyć je zapisywania wyniku “od prawej do lewej”. Część dzieci przyjmie to po prostu za naturalne. Inne będą dopytywać, dlaczego? Warto powiedzieć im, że będzie to miało znaczenie w dalszych przykładach.

Te pierwsze zadania, bez przekraczania progu dziesiątkowego, dostępne już dla naprawdę małych dzieci (byle umiały odczytywać i zapisywać liczby w systemie dziesiętnym), można znaleźć w Bazie 23. Z doświadczenia wiem, że te, które dodają już liczby jednocyfrowe bez problemu, bardzo szybko przechodzą do rozwiązywania tych zadań abstrakcyjnie, bez materiału.

Zaczynamy podejście 🙂

Jeśli działanie mnożenia przy dużych liczbach jest dla dziecka jasne, to pora na przekraczanie progu dziesiątkowego. Na początek warto wybrać takie przykłady, w których przekroczenie progu następuje tylko w jednym miejscu, by umożliwić dziecku stopniowe oswojenie się z zagadnieniem. Ja zebrałam takie przykłady w Bazie 24.

Rozpoczynamy pracę dokładnie tak samo, jak poprzednio: ustawiamy pionki w ilości zgodnej z liczbą, przez którą mnożymy. Obok każdego z nich układamy z materiału liczbę mnożoną.

Teraz pora na odczytanie wyniku: w pewnym momencie dziecko powinno zauważyć, że musi przekroczyć próg dziesiątkowy (albo przynajmniej, że ma więcej niż 9 jednakowych elementów materiału). W przykładzie ze zdjęcia jest to 14 jedności. Jeśli nie domyśli się samo, co zrobić w takiej sytuacji, możemy przypomnieć mu na przykład, że 10 jedności może wymienić na jedną dziesiątkę.

Dzieci, które znają dobrze mnożenie, zachęcamy, by zliczanie wyniku na materiale dokonywała w taki sposób: ile mamy jedności? Dwa razy siedem, czyli czternaście. To ważne, bo przy większych cyfrach zliczanie na każdej pozycji mija się z celem i uniemożliwia przejście do abstrakcyjnego wykonywania działań.

W trakcie odczytywania wyniku na bieżąco go zapisujemy od prawej do lewej: odczytujemy liczbę jedności i zapisujemy cyfrę jedności w wyniku, odczytujemy liczbę dziesiątek i zapisujemy cyfrę dziesiątek w wyniku itd. W momencie przekraczania progu dokonujemy zamiany, zapisujemy odpowiednią cyfrę w wyniku, ale również nad działaniem zapisujemy “przeniesienie” powstałe przy zamianie (w naszym przykładzie byłoby to zapisanie 4 jedności w wyniku i 1 dziesiątki w przeniesieniu – zapisujemy ją małą cyfrą nad cyfrą dziesiątek mnożonej cyfry). Karty kontrolne nie zawierają przeniesień – dokonałam takiego świadomego wyboru, że będzie tam jedynie wynik, bez pomocniczych oznaczeń.

Jeśli dziecko wcześniej pytało, dlaczego ważne jest wykonywanie działania od prawej do lewej, możemy pozwolić mu na próbę zrobienia tego inaczej. W naszym przykładzie, jeśli zapisze w wyniku 6 setek i 2 dziesiątki, to po chwili odkryje, że wynik trzeba “poprawić” po zamianie jedności na kolejną dziesiątkę. To właśnie powód, dla którego wykonujemy działanie “od prawej do lewej”. Będzie to szczególnie istotne, gdy przekroczeń progu będzie dużo więcej. Jednocześnie warto doceniać pytanie dziecka, a może nawet wskazać momenty, w których warto zrobić inaczej. Jest tak na przykład wtedy, gdy chcemy oszacować wynik działania i najmniejsze pozycje dziesiętne są dla nas nieistotne.

Jeszcze na jedną trudność warto zwrócić uwagę, ponieważ dorosłym często nie przychodzi do głowy, że może to być trudność 😉 Są to miejsca, w których pojawia się w wyniku cyfra 0, jako efekt zamiany (np. jeśli 20 dziesiątek zamienimy na 2 setki, to pozostaje nam właśnie 0 dziesiątek). Zwykle w takim momencie dziecko potrzebuje chwili na zastanowienie, a nawet podpowiedzi, że to 0 w wyniku należy zapisać. Na materiale jest to bardziej widoczne, po przejściu do abstrakcji trudniej o tym pamiętać, więc warto to podkreślić.

Ostatnie podejście na postój

Ostatnim etapem w mnożeniu przez liczbę jednocyfrową, jest mnożenie z wielokrotnym przekroczeniem progu. Wymaga dużego skupienia, ale w zasadzie trudności nie są dużo większe niż na poprzednim etapie. Jeszcze bardziej istotny będzie zapis “przeniesień”. Przygotowane przykłady o rosnącym stopniu trudności, znajdziecie w Bazie 25.

I to tyle! Pora na mały postój i ugruntowanie umiejętności. W następnym kroku będziemy mnożyć przez liczby wielocyfrowe. Okaże się, że dzięki materiałowi może to być całkiem proste, a wielopiętrowy, “przesunięty” zapis pisemnego mnożenia jest całkiem naturalny 🙂