Pierwsze kroki z ułamkami zwykłymi – ułamki niewłaściwe i liczby mieszane

W poprzednim wpisie pisałam o tym, jak możemy dziecku zaprezentować znaczenie ułamków zwykłych i sposób ich zapisu. Wprowadzenie ułamków na konkrecie sprawia, że mnóstwo własności ułamków dziecko może odkryć samo. Dziś skupię się na wprowadzeniu ułamków niewłaściwych i liczb mieszanych, oraz na ich poznawaniu – zapisie, wartości, zamianie.

Wprowadzanie ułamków większych od 1

Jeśli posiadamy montessoriański materiał do ułamków zwykłych (można pobrać go w dziale Narzędzia i przygotować samodzielnie), wprowadzenie ułamków niewłaściwych i liczb mieszanych nie przysparza dzieciom dużych trudności. Sama idea jest dzięki konkretowi łatwa do zrozumienia. Jednocześnie wymaga czasu i pracy z materiałem, by dojść do abstrakcyjnego sformułowania zasad i ich używania.

Pracę z ułamkami niewłaściwymi zawsze zaczynamy podobnie, pokazując dziecku, że z części może złożyć się całość. W zasadzie wspominaliśmy mu już o tym, wprowadzając nazwy poszczególnych części… Pora jednak na uporządkowanie tego spostrzeżenia 🙂 Jeśli dziecko bez problemu nazywa już poszczególne części, prosimy go o podanie na przykład dwóch części drugich (lub trzech części trzecich itd.). Gdy ułoży je razem, tworząc koło, obok kładziemy całe koło. Pokazujemy mu, że jest to „tyle samo”, dlatego dwie drugie równa się jeden. Warto pozwolić dziecku doświadczyć tego również na innych częściach i zapisywać w różny sposób (zaczynając od jedności i „rozmieniając” lub zaczynając od części i „zamieniając na całość”).

I co dalej? Morze możliwości… 🙂

W analogiczny sposób wprowadzamy ułamki niewłaściwe, które odpowiadają większej liczbie całości oraz liczby mieszane (zapisane z uwzględnieniem całości lub w postaci ułamka niewłaściwego). Za każdym razem pozwalamy dziecku dokonywać odpowiednich zamian na materiale – gdy przyjdzie na to czas, dziecko samo poczuje, że już go nie potrzebuje 🙂 Takie bazy, wykraczające poza zakres pracy na konkrecie (czyli poza pięć całości lub do części mniejszych niż części dziesiąte) również przygotowałam 🙂

W przyszłości dziecku przyda się również „rozmienianie” jednej całości z liczby niewłaściwej (nie tylko wszystkich całości, gdy chcemy otrzymać ułamek niewłaściwy) i wyciąganie całości gdy w liczbie mieszanej część ułamkowa jest niewłaściwa. Takie sytuacje spotkają je już przy odejmowaniu i dodawaniu ułamków 🙂

Wszystkie przygotowane przeze mnie Bazy znajdują się w odpowiedniej zakładce na stronie, wraz z kartami kontrolnymi. Poniżej przedstawiam ich zestawienie ze zwróceniem uwagi na najważniejsze aspekty w pracy z dzieckiem.

  • Baza 57 – Zamiana ułamka niewłaściwego na całości
    • Jest to pierwszy moment, w którym dziecko może zauważyć, że ułamek to nic innego jak iloraz – ułamki w bazie są tak dobrane, by wynik dzielenia był liczbą naturalną.
    • Warto zwrócić uwagę na to, czy pod koniec pracy dziecko pracuje już bez konkretu (jeśli ma opanowane mnożenie i dzielenie, jest spora szansa, że tak się zadzieje). Jeśli tak nie jest, warto zostać na tym etapie trochę dłużej.
  • Baza 58 – Zamiana całości na ułamek niewłaściwy
    • Zamiana jedności na części zwykle przychodzi dzieciom łatwo. Kolejnym etapem jest rozmienianie kilku jedności, gdy mamy do czynienia z liczbą większą niż 1.
    • Warto zwrócić uwagę na to, czy dziecko zauważa, że może obliczyć liczbę części za pomocą mnożenia. Jeśli nie, możemy mu to pokazać w czasie prezentacji pomocy po raz kolejny. W przykładzie rozmieniania 3 na części piąte możemy nie tylko dokonać zamiany, ale też skomentować: każdą z trzech całości rozmieniam na pięć części piątych. Otrzymuję 3×5, czyli 15 części piątych.
  • Baza 59 – Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną (w zakresie materiału)
    • Jest to jeden z naturalnych „dalszych ciągów” bazy 57. Postępujemy dokładnie tak samo, wymieniając części na całości. Jedyna różnica polega na tym, że tym razem nie wszystkie części zostaną zamienione i zamiast liczby naturalnej otrzymamy liczbę mieszaną.
    • Może to być pierwsze miejsce, w którym dziecko spotyka się z zapisem liczby mieszanej. To doskonały moment na jej wprowadzenie – o ile rozumienie jest naturalne dzięki pracy na konkrecie, o tyle musimy być uważni przy nazywaniu i zapisywaniu, aby dziecko mogło nauczyć się prawidłowo to robić.
  • Baza 60 – Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy (w zakresie materiału)
    • Naturalny ciąg dalszy bazy 58
  • Baza 61 – Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną (poza zakresem materiału)
    • Czas na tę bazę nadchodzi wtedy, gdy dziecko rozwiązuje bazę 59 bez użycia materiału.
  • Baza 62 – Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy (poza zakresem materiału)
    • Czas na tę bazę nadchodzi wtedy, gdy dziecko rozwiązuje bazę 60 bez użycia materiału.
  • Baza 63 – Rozmienianie jednej całości w liczbie mieszanej
    • Bardzo ważny etap przed odejmowaniem liczb mieszanych, z tego względu wyodrębniłam tę umiejętność.
    • Wymaga tylko bazy 58, choć może być też realizowany po bazach 60 i 62. Jest od nich prostszy jeśli chodzi o brak mnożenia (rozmieniamy tylko jedną całość), ale pewnym „rozpraszaczem” jest część ułamkowa liczby mieszanej, którą trzeba dodać to części z rozmieniania. Trudność odczuwana przez dziecko jest więc bardzo indywidualna.
  • Baza 64 – Wyciąganie całości w liczbie mieszanej z ułamkiem niewłaściwym
    • Bardzo ważny etap przed dodawaniem liczb mieszanych, z tego względu jest wyodrębniony jako osobna baza.
    • Wymaga bazy 59, choć może być też realizowany po bazie 61. Jest od niej prostszy jeśli chodzi o liczbę części („wyciągamy” tylko jedną całość), ale pewnym „rozpraszaczem” są całości, które trzeba uwzględnić w wyniku. Trudność odczuwana przez dziecko jest więc bardzo indywidualna.

W jakiej kolejności proponować te bazy dziecku? Jak zawsze kierując się predyspozycjami i zainteresowaniem dziecka. Można myśleć o dwóch głównych sposobach: możemy stopniować trudność, na każdym etapie zajmując się zamianą w obie strony (ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną i odwrotnie). Możemy też przejść przez wszystkie etapy zajmując się tylko zamianą „w jedną stronę”, a następnie zrobić to samo z zamianą „w drugą stronę”. Oczywiście jest też spora liczba wariantów pośrednich, warto z nich korzystać, gdy podpowiada nam to rodzicielska/nauczycielska intuicja 🙂

Mam nadzieję, że te wskazówki będą pomocne w poszukiwaniu waszej własnej drogi odkrywania ułamków niewłaściwych i liczb mieszanych… A kolejne przygody z ułamkami już wkrótce!

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *