Tajemnice brył foremnych

Pokazywałam już, jak można zbudować bryły foremne i jak można zaskakująco wykorzystać dwudziestościan. Ale to dopiero początek tego, co można zobaczyć w wielościanach foremnych! Zapraszam na małe i duże przygody pełne zaskoczeń 🙂

Na początek spróbujemy przyjrzeć się liczbie ścian, krawędzi i wierzchołków każdego wielościanu foremnego. A co to właściwie jest?

  • ściany to wielokąty tworzące wielościan,
  • krawędzie to odcinki, będące bokami ścian (każda krawędź leży „pomiędzy” dwoma ścianami),
  • wierzchołki to punkty, które są końcami krawędzi (w każdym wierzchołku tych krawędzi schodzi się kilka, co najmniej trzy).

Spróbujcie je policzyć. Ile ścian, krawędzi i wierzchołków jest w każdym z wielościanów foremnych? Wcale nie jest to takie łatwe zadanie (szczególnie w dwunastościanie i dwudziestościanie). Czy te liczby mają ze sobą jakiś związek? Ano, mają! 🙂

Przygotowałam karty pracy do pobrania (jak zwykle wraz z kartami kontrolnymi), dzięki którym dzieci mogą te zależności zauważyć. Mam nadzieję, że kolejnym krokiem będzie próba wyjaśnienia „dlaczego?”. O tym też za chwilę napiszę 🙂

Najpierw jednak o samych kartach. Dla każdej z brył stworzyłam oddzielną kartę pracy o takiej samej budowie. Wszystko poza rysunkiem i nazwą bryły jest jednakowe. No i jeszcze poza… końcówkami wynikającymi z odmiany w języku polskim 🙂 Te końcówki mogą stanowić dla dziecka częściową kontrolę błędu. Zaczynamy od uzupełnienia liczby ścian (np. w sześcianie ścian jest 6) oraz liczby boków każdej z nich (w moim przykładzie ściany to kwadraty, mają po 4 boki). Dalej uzupełniamy liczbę krawędzi (dla sześcianu jest to 12 – jeśli położymy sześcian na jednej ze ścian, to 4 krawędzie są jej bokami, 4 znajdują się przy przeciwległej ścianie i 4 „pomiędzy”). Następnie liczymy wierzchołki (sześcian ma ich 8 – 4 jest jednej ze ścian i 4 przy przeciwległej) oraz to, ile krawędzi wychodzi z każdego wierzchołka (w wierzchołku sześciany łączą się 3 krawędzie). Co teraz? Zgodnie ze zdaniami przy strzałkach mnożymy odpowiednie liczby: liczbę ścian przez liczbę boków każdej z nich (w sześcianie jest to 6×4=24), liczbę krawędzi mnożymy przez 2 (12×2=24) oraz liczbę wierzchołków mnożymy przez liczbę krawędzi schodzących się w każdym z nich (8×3=24).

Liczymy krawędzie w sześcianie 🙂

Gdy widzimy trzy jednakowe liczby (to znowu częściowa kontrola błędu, jeśli dziecko pracuje z nimi po raz kolejny) na pierwszej karcie, możemy myśleć o przypadku (choć dzieci obcujące z pomocami Montessori raczej w nie nie wierzą ;)). Po uzupełnieniu wszystkich kart mamy już mocne przekonanie, że musi za tym stać jakaś zasada. I rzeczywiście! Tak naprawdę są to dwie zasady, które po małej zmianie opisują zależności w dowolnym wielościanie. Najprostszą formę przyjmują w wielościanach foremnych, właśnie ze względu na to, że każda ściana ma tyle samo boków, i z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.

Najpierw odkryjemy, dlaczego pierwsze dwie liczby po prawej stronie będą jednakowe. Opiszę to na przykładzie sześcianu, ale dokładnie w ten sam sposób można dostrzec to w każdym wielościanie foremnym. W tym celu przypatrzymy się naszym wielościanom zbudowanym z kół (jeśli ich nie znacie, zapraszam do wcześniejszego wpisu). Każde koło jest tam podzielone na wielokąt i odcinki kołowe. W przypadku sześcianu mamy koło złożone z kwadratu i czterech odcinków kołowych. Spróbujemy obliczyć liczbę tych odcinków kołowych we wszystkich kołach użytych do budowy sześcianu. Z jednej strony w każdym użytym kole jest ich cztery, a kół jest sześć, tyle co ścian. Liczba odcinków kołowych to nic innego jak wynik mnożenia tych liczb, czyli górna liczba po prawej stronie karty sześcianu. Z drugiej strony przy każdej z dwunastu krawędzi sześcianu łączyliśmy dwa odcinki kołowe, więc ich liczba to dwukrotność liczby krawędzi (to właśnie środkowa liczba po prawej stronie karty). W takim razie dwie liczby po prawej stronie opisują liczbę odcinków kołowych we wszystkich użytych kołach i muszą być równe! 🙂

Spróbujemy teraz pokazać, że środkowa i dolna liczba są równe. Tym razem spróbujemy to zrobić, budując szkielety wielościanów z wykałaczek. Możemy łączyć je w każdym wierzchołku za pomocą dowolnej w miarę gęstej masy (masa solna sprawdza się dość dobrze w mniejszych bryłach) lub klejem na gorąco. Dwunastościan i dwudziestościan są dość trudne do uzyskania, ale możemy spróbować z mniejszymi wielościanami, a potem skorzystać z mocy wyobraźni 😉

Szkielet sześcianu z wykałaczek

Jeśli mamy już gotowy wielościan, spróbujmy przeciąć każdą z wykałaczek na pół. Ile mniejszych patyczków powstanie? Oczywiście jest ich dwa razy więcej niż krawędzi (a więc środkowa liczba na naszej karcie!). Z drugiej strony, możemy przyjrzeć się temu, co zostało z naszego wielościanu. Otrzymaliśmy części, a w centrum każdej z nich znajduje się dawny wierzchołek wielościanu (jest ich tyle co wierzchołków), a z niego wystaje zawsze jednakowa liczba patyczków (taka jak liczba krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka). To oznacza, że liczba patyczków jest iloczynem liczby wierzchołków i liczby krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka – to nasza „dolna” liczba na karcie!

Osiem części, na które rozdzielamy szkielet sześcianu

Mam nadzieję, że czujecie się przekonani, że to nie przypadek, ale po prostu kilka różnych sposobów zliczania tego samego. Taka metoda dowodzenia pewnych zależności w matematyce wcale nie jest taka rzadka 🙂 Jeśli ma przerodzić się w formalny dowód, wystarczy w przyszłości zapisać ją w ogólny sposób i doprecyzować różne intuicje. Te poznane zależności to zresztą nie koniec! Jest ich więcej, ale o tym już następnym razem… będziecie chcieli poczytać?

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *