Wielokrotności i dzielniki – o regularności i zaskoczeniach w prostych sprawach

Wielokrotności i dzielniki to temat z podstawy programowej klas 4-6, ale jest naprawdę prosty i przyjemny dla każdego dziecka, które rozumie mnożenie. Bardzo ułatwia też znajomość tabliczki mnożenia, ale nie jest konieczna – badanie wielokrotności i dzielników może stać się doskonałą okazją do jej ćwiczenia. Warto zacząć wcześnie wyrabianie intuicji, bo im głębiej będziemy w przyszłości wchodzić w temat, tym więcej zaskoczeń nas czeka. Każde z nich prowadzi do fascynujących odkryć i zrozumienia najważniejszych miejsc, w których wielokrotności i dzielniki się nam przydają. Dzieci jednak wycofują się i poddają, jeśli nie mają ugruntowanych podstaw. Dajmy im czas, by chciały same podjąć kolejne kroki, a jednocześnie nie blokujmy ich naturalnej chęci poznawania świata 🙂

Przygotowałam pomoce, które mogą pomóc dzieciom zrozumieć wielokrotności i dzielniki. Tym, którzy znają pomoce Montessori, jedna z nich będzie przypominała łańcuchy z kolorowych pereł – to nie przypadek, mam nadzieję pokazać kiedyś, jak można pracować dzięki niej z kwadratami (do sześcianów potrzebny jest trzeci wymiar, który ciężko osiągnąć przez wydruki na papierze).

Przygotowałam trzy różne spojrzenia na wielokrotności i dzielniki, każda z nich ma przygotowane materiały do wydruku i propozycje pracy z dzieckiem. Czwarta natomiast pokazuje, jak można je dalej rozwijać… chcę pokazać potencjał, który w nich drzemie – dokładnie te same pomysły rozwiniemy i wykorzystamy przy szukaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności, największego wspólnego dzielnika, dzieląc liczby na pierwsze i złożone. Ale o tym już w następnych artykułach 🙂

Opowieść pierwsza – chodzenie szybkim krokiem

Gdybyśmy mieli szczudła i mogli chodzić krokami długości 2 metrów… w jakich miejscach drogi stawialibyśmy nogi? A gdyby nasze kroki miały długość 5 metrów? Albo 6 metrów? Aby obliczyć te miejsca, w których możemy się zatrzymać, musimy dodać wiele kroków, które wykonamy.

Takie podejście nawiązuje do brania jakiejś liczby po wielekroć – to właśnie wielokrotności! Spróbujmy zobrazować to sobie na konkrecie. Dla dowolnej liczby możemy przygotować prostokąty złożone z takiej właśnie liczby kratek. Układając je jedna za drugą, uzyskamy wyobrażenie, jaką wartość może mieć wielokrotność.

Jeśli chcielibyście wykonać taką pomoc, zapraszam do pobrania przygotowanych plików do wydruku:

Oczywiście możecie je zalaminować (polecam!) lub podkleić na kartonie (to drugie rozwiązanie polecam szczególnie młodszym dzieciom, które mają kłopot z precyzyjnym manipulowaniem). Przy wycinaniu zwróćcie uwagę, by ciąć po zewnętrznym obrysie, a grube linie pomiędzy poszczególnymi prostokątami przecinać w miarę możliwości na pół – dzięki temu wszystkie prostokąty będą odpowiedniej długości.

Jeśli macie dostępne montessoriańskie kolorowe liczby, to oczywiście warto właśnie z nich układać łańcuchy! W przypadku pereł będzie to jednak mniej wygodne w przyszłości, gdy będziemy chcieli zobaczyć, gdzie są wspólne wielokrotności – niestety zakończenia z drucików sprawiają, że koraliki odrobinę się przesuwają w poszczególnych łańcuchach.

Proponuję rozkładać prostokąty wzdłuż pewnej linii, a kolejne wielokrotności podpisywać: można to robić na ostatniej kratce każdego prostokąta (szczególnie jeśli są zalaminowane i podpis będzie można zetrzeć) lub na oddzielnych kartkach obok. Jest to doskonałe ćwiczenie utrwalające tabliczkę mnożenia lub przeliczanie skokowe, jeśli wyników dziecko nie ma jeszcze w pamięci. Warto też zestawiać ciągi poszczególnych wielokrotności, ale o tym już w czwartej historii 🙂

A jak zobaczyć tu dzielniki? Wybierzmy jakąś liczbę, na przykład 30. Dzielnik, to taka liczba, przez którą dzieli się 30. Inaczej mówiąc, jeśli będziemy iść jakimś ustalonym krokiem, to jaki on musi być, żebyśmy “trafili” dokładnie w 30? Oczywiście może mieć długość 1 (wówczas potrzebujemy 30 kroków) lub 30 (wówczas tylko jeden krok i już jesteśmy na miejscu!). Może to być też 2, 3, ale na przykład 4 nie jest dobre (trafimy w 28, a potem w 32, omijając 30). Te liczby: 1, 30, 2, 3 itd. to właśnie dzielniki liczby 30.

Pytań, które możemy rozważać razem z dzieckiem jest naprawdę dużo (w nawiasach podaję przykładowe wnioski, do których możemy dojść – koniecznie na konkrecie, jeśli wyobraźnia nie wystarcza :)):

• Jakie liczby są wielokrotnościami liczby 2? (Parzyste)
• Jakie liczby są wielokrotnościami liczby 1? (Wszystkie liczby naturalne!)
• Czy wielokrotności 3 i wielokrotności 4 się “spotkają”? Gdzie? (Muszą spotkać się w 12=3×4, bo to są cztery trójki, ale też trzy czwórki).
• Czy wielokrotności dowolnych dwóch liczb muszą się kiedyś “spotkać”? (Tak, bo iloczyn tych liczb jest wielokrotnością obu).
• Czy są liczby, których wielokrotności “spotkają się” wcześniej niż w iloczynie? (Tak, na przykład 12 jest wielokrotnością 4 i 6).
• Czy wielokrotność liczby 6 może być nieparzysta? (Nie, kiedy dodajemy parzyste liczby, zawsze dostajemy parzyste wyniki).
• Czy wielokrotność liczby 5 może być parzysta? (Tak, co druga jest parzysta).
• A czy wielokrotności dowolnych trzech liczb muszą się kiedyś spotkać wszystkie naraz? (Tak, w iloczynie wszystkich trzech liczb na pewno się spotkają, a czasem wcześniej. Warto jednak podkreślić, że na naszym materiale nie zawsze tego doświadczymy, np. wspólna wielokrotność 5, 6 i 7 to dopiero 210)
• Przypatrz się wielokrotnościom liczb 3 i 6. Co można o nich powiedzieć? (Każda wielokrotność 6 jest też wielokrotnością 3. Co druga wielokrotność 3 jest wielokrotnością 6. Można powiedzieć że jest tak dlatego, że krok długości 6 składa się z dwóch kroków długości 3).
• Czy liczba 50 jest wielokrotnością liczby 7? Po czym to poznać? (Wielokrotnością 7 jest 49, a następna to 56, więc 50 nie jest wielokrotnością).
• Czy 7 jest wielokrotnością jakiejś liczby? (Tak, jest wielokrotnością liczb 1 i 7).
• Jakie dzielniki ma liczba 10? (Są to 1, 2, 5 i 10).
• Jakie dzielniki ma liczba 24? Na materiale dziecko może sprawdzić, że dzielnikami są 1, 2, 3, 4, 6 i 8. Warto zapytać je, czy ma pomysł na jakiś inny dzielnik, większy od 10. Może to być 12 lub 24, ale jeśli dziecko tego nie widzi, będzie mogło to dostrzec w dalszym materiale).
• Gdyby ktoś zdradził nam, że 644 jest wielokrotnością liczby 7, to jak moglibyśmy znaleźć kolejną wielokrotność? (Wystarczyłoby dodać 7, czyli byłoby to 651).

Ważne, by dziecko sprawdzając, jakie liczby są dzielnikami czy wielokrotnościami innych, mogły zobaczyć, że zdania typu “12 jest wielokrotnością liczby 2” oraz “2 jest dzielnikiem liczby 12” to w zasadzie ta sama informacja, tylko ujęta w inny sposób 🙂

Warto też porozmawiać z dzieckiem, jak poznać, czy jakaś liczba jest wielokrotnością/dzielnikiem innej, bez rozkładania kolejnych wielokrotności “od zera”? Czy dajmy na to, jesteśmy w stanie stwierdzić, czy 1356 jest wielokrotnością liczby 2? A liczby 3, 4 lub 5? To ten moment, by porozmawiać (być może na konkrecie z pytania, lub ogólnie – zależnie od etapu rozwojowego dziecka) o tym, że wielokrotność liczby 2 to nic innego jak wynik mnożenia: trzeba 2 pomnożyć przez liczbę kroków. Chcemy więc wiedzieć, czy 2 razy jakaś liczba kroków może dać nam 1356? Wystarczy spróbować obliczyć 1356:2. A jeśli dziecko pracowało już z cechami podzielności liczb, to przypomnieć, że jeśli nie interesuje nas wynik, tylko to “czy da się podzielić po równo”, to możemy zrobić to z ich pomocą w przypadku wielokrotności np. 2, 3, 4, 5 czy 9.

Opowieść druga – przesiewanie przez sito

Słowo “sito” u osób obeznanych z matematyką czy jej historią, od razu kojarzy się w tym kontekście z “sitem Eratostenesa”. To nie przypadek! Dokładnie takim sposobem będziemy poszukiwali liczb pierwszych na kolejnych etapach “wtajemniczenia” w tematykę podzielności. Póki co jednak skupiamy się na wielokrotnościach.

Podejście jest bardzo podobne jak poprzednio, tyle że nasze liczby nie będą uporządkowane liniowo – umieścimy je w tabeli, po 10 w rzędzie. Można ograniczyć się tabeli złożonej ze 100 pól, ja zdecydowałam się na 120. To dlatego, że chcę, by dzieci były świadome, że na tabliczce mnożenia świat się nie kończy – są też takie wielokrotności, których na niej nie ma. Ważne, by mogły sobie ich obliczanie przećwiczyć. W przygotowanym pliku znajdziecie tabelę liczb od 1 do 130, w której możecie zaznaczać wielokrotności oraz karty kontrolne dla liczb od 2 do 20.

Możecie wydrukować tabelę na papierze w jednej kopii, a następnie zaznaczać wielokrotności na przyłożonych foliach (polecam sztywne, np. z rozciętej sztywnej obwoluty). To pozwoli później wykorzystać je do sita Eratostenesa lub badania wspólnych wielokrotności. Jeśli nie macie takiej możliwości, po prostu zaznaczajcie wielokrotności różnymi kolorami (jeden kolor dla wielokrotności danej liczby) lub na oddzielnych kopiach tabeli.

W tabeli zaznaczamy kolejne wielokrotności ustalonej liczby, np. 2. Początkowo możemy korzystać z tabliczki mnożenia (jeśli ją znamy), później przeliczać skokowo (12, 24, 36, …). Wzory, które powstają mają pewną regularność, a ich zestawienia mogą być naprawdę piękne! W przypadku liczb takich jak 2, 5 czy 10, pozwalają dzieciom, które nie znają jeszcze cech podzielności, samodzielnie je sformułować – widać je jak na dłoni!

Ponieważ nie mamy fizycznej reprezentacji liczb, jest to bardziej abstrakcyjny materiał, ale też daje możliwość badania wielokrotności większych liczb – karty kontrolne wykonałam dla liczb do 20, ale możemy badać również wielokrotności większych liczb.

Opowieść trzecia – o prostokątach

Kolorowe liczby możemy układać jeszcze w inny sposób – dokładając je jedna obok drugiej długimi bokami. W ten sposób powstanie nam prostokąt, którego jeden bok odpowiada naszej liczbie. Wielokrotność w takiej sytuacji odpowiada polu prostokąta, warto to pokazać dziecku, jest zna już pojęcie pola. Niezależnie od tego, możemy obliczać z dzieckiem wielokrotności dokładając kolejne paski i przeliczając skokowo, np. 4, 8, 12, 18, 20…

Warto w pewnym momencie się zatrzymać (np. przy liczbie 20) i przypomnieć pojęcie dzielnika: 4 jest dzielnikiem liczby 20. Następnie możemy pokazać dziecku, że przeliczając co 5, również dojedziemy do 20, uzyskując jednakowy prostokąt. To pokazuje, że dzielniki liczby możemy dobrać w pary tak, by nasza liczba była wynikiem mnożenia. Doskonałym ćwiczeniem jest przeliczanie wielokrotności do pewnego momentu, zatrzymywanie się i proszenie dziecka o dojście do takiego samego prostokąta za pomocą innych wielokrotności.

To bardzo ważne doświadczenie, które w przyszłości ułatwi dziecku znalezienie wszystkich dzielników liczby. Na przykład szukając dzielników 26, po zauważeniu, że 2 jest dzielnikiem, będzie mogło od razu zauważyć, że 13 również.

Jeśli dziecko zna już pojęcie kwadratu, warto zaznaczyć, że wśród dzielników kwadratu (np. liczby 49) jest jeden “bez pary”, w naszym przykładzie 7.

Opowieść czwarta – o szukaniu tego, co łączy

To dopiero początek badania wielokrotności i dzielników 🙂 Starałam się zaproponować dużo ćwiczeń i różnych spojrzeń, by pojęcia mogły zostać przez dziecko właściwie zrozumiane i ugruntowane. Dopiero gdy to nastąpi, warto zestawiać liczby ze sobą i poszukiwać największych wspólnych dzielników lub najmniejszych wspólnych wielokrotności.

Zacznijmy od poszukiwania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Dziecko ma już pewne doświadczenia, do których warto wrócić, lub po prostu je powtórzyć. Najpierw musimy zbadać, czy wspólna wielokrotność w ogóle istnieje. Pracując na konkrecie dziecko może zauważyć, że wielokrotności dowolnych dwóch liczb muszą “spotkać się” w iloczynie. Czy to jest ta najmniejsza wspólna wielokrotność? Czasami tak, pokażmy jednak dziecku, że czasem można znaleźć jeszcze mniejszą, np. dla liczb 4 i 6 albo 5 i 10. Drugim cennym spostrzeżeniem jest to, że jeśli jakieś wielokrotności się już “spotkają”, to będą spotykać się regularnie. Co prawda nie jest to niezbędne do znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, ale pozwala zrozumieć, że jeśli znajdziemy tą najmniejszą wspólną wielokrotność, to będziemy znali też wszystkie następne. To dlatego ta najmniejsza jest taka wyjątkowa 🙂

Szukanie wspólnych dzielników wygląda trochę inaczej. Przede wszystkim każda liczba ma określoną, skończoną liczbę dzielników. Żaden dzielnik nie jest większy od danej liczby, więc szukając wszystkich dzielników możemy sprawdzić “wszystkie możliwości”. Nie musimy nawet sprawdzać ich wszystkich, dzięki spostrzeżeniu z trzeciej opowieści – znajdując jakiś dzielnik, możemy znajdować od razu jego “parę”.

Czy każde dwie liczby mają wspólny dzielnik? Tak, na pewno takim wspólnym dzielnikiem jest 1 (bo 1 jest dzielnikiem każdej liczby). Czasem zdarzają się większe wspólne dzielniki (na przykład 2 jest wspólnym dzielnikiem 4 i 6), nawet tak duże jak jedna z liczb (np. 6 jest wspólnym dzielnikiem 6 i 12). Wspólne dzielniki nie są tak regularne jak wspólne wielokrotności, ale mają pewną ciekawą własność. Każdy wspólny dzielnik dwóch liczb jest dzielnikiem największego wspólnego dzielnika. Nie każde dziecko da radę zrozumieć tę zależność (samo nagromadzenie słów “dzielnik” utrudnia zrozumienie) i nie musi – ale tym, które są gotowe, warto ją pokazać 🙂

Jest naprawdę dużo zastosowań NWW i NWD oraz ich cudownie zaskakujących własności. Ale to już temat na kolejną opowieść… Pierwsza z nich opowiada poszukiwaniu liczb pierwszych.