Cechy podzielności

Jak doświadczyć cech podzielności zamiast ich bezmyślnego zapamiętywania? Dzieci łatwo zauważają, jakie liczby są podzielne przez 2, 5 czy 10. Gdy przychodzi podzielność przez 4, są zwykle bardzo zaskoczone. Czemu akurat przy czwórce trzeba patrzeć na dwie ostatnie cyfry, a nie tylko jedną? A prawdziwy zamęt wywołują cechy podzielności przez 3 i przez 9. Na tyle duży, że przyswojona raz zasada szybko ucieka z głowy. A szkoda, bo jest później niezwykle przydatna! Do skracania ułamków, rozkładu na czynniki pierwsze, …

Kluczem do zrozumienia zasad podzielności jest praca na konkrecie. Wystarczy zestaw montessoriańskich “znaczków” lub wycięte z papieru znaczki lub banknoty o nominałach odpowiadających pozycjom w systemie dziesiętnym (gorąco zachęcam, żeby miały “montessoriańskie kolory”). Jeśli chcesz, możesz pobrać wersję do druku:

Całość opowiadam na filmach, zapraszam do obejrzenia. Poniżej znajdziecie opis poszczególnych kroków i komentarz, a do pobrania – gotowe karty pracy.

Przygotowując się do odkrywania cechy podzielności, dziecko powinno podzielić z resztą (jak najbardziej może zrobić to na pomocy!) kolejne potęgi liczby 10 (1, 10, 100, 1000, itd.) przez odpowiednią liczbę, której cechę podzielności chcemy poznać. Następnie wyjaśniamy dziecku, że będziemy teraz sprawdzać podzielność liczby – nie będzie nas interesował wynik (tak jak przy dzieleniu), a jedynie to, czy pozostanie reszta z dzielenia, czy nie. Jest to powód, dla którego możemy posłużyć się inną metodą, niż przy dzieleniu.

Gotowe karty pracy możesz pobrać tutaj:

Następnie przygotowujemy tabelę, w której umieszczamy w pierwszej wszystkie pozycje dziesiętne w naszej liczbie. W drugiej kolumnie będziemy umieszczać “ile zostaje”, czyli sumę reszt, które dadzą wszystkie liczby jednego rzędu. Po obliczeniu “ile zostaje” dla poszczególnych pozycji dziesiętnych, możemy je zsumować, by otrzymać “ile zostaje” z całej liczby. To moment, by wyjaśnić, że to jeszcze nie koniec – musimy podkreślić, że z całej liczby udało nam się podzielić po równo już wszystko oprócz tych pozostałości. Musimy zastanowić się, czy te pozostałości można również rozdzielić po równo – od tego będzie zależało, czy nasza liczba jest podzielna. Warto więc wypełnienie tabeli zakończyć zawsze wnioskiem, czy nasza liczba jest podzielna czy niepodzielna.

Tak jak w każdej pracy z montessoriańską pomocą, musimy podążać za dzieckiem. Na początku dziecko rozkłada wyniki z dzieleń przy każdym pionku. Jest to pracochłonne zajęcie, ale warto dać dziecku czas.

Po jakimś czasie dziecko zauważy, że jeśli interesuje nas tylko reszta z dzielenia, to nie musi rozkładać wyników z dzielenia, wystarczą same “pozostałości”. Kolejnym krokiem jest praca bez pomocy, w której dziecko uzupełnia tabelę bez rozkładania żetonów (czasem ten etap następuje bardzo szybko po prezentacji, ale nie musi tak być).

Podążanie za dzieckiem jest również ważne, gdy pojawiają się jego własne spostrzeżenia. Może to być szczególnie istotne w sytuacji, gdy na którejś pozycji dziesiętnej rozważanej liczby znajduje się cyfra co najmniej taka jak liczba przez którą dzielimy (w przykładzie z podzielnością przez 3 były dwie takie sytuacje: w liczbie 1235 pojawiają się 30 i 5). Wówczas część uczniów oczekuje, że rozdzielimy część danej pozycji podobnie jak w dzieleniu: czyli zauważymy, że 30 można rozdzielić na 3 i “pozostanie” 0, a z 5 możemy “rozdać” 3 po 1 dla każdego pionka i “pozostanie” tylko 2. Możemy wybrać wtedy jedno z dwóch rozwiązań, zależnie od możliwości ucznia i rodzica/nauczyciela:

1. Tłumaczymy uczniowi, że jest to jak najbardziej prawidłowe rozumowanie, ale akurat w tej konkretnej sytuacji chcemy rozdzielać każdy tysiąc/setkę/dziesiątkę/jedność oddzielnie. Powodem jest chęć otrzymania prostej do opisania i zapamiętania zasady sprawdzania podzielności.
2. Pozwalamy uczniowi na rozdzielanie w taki sposób. Wówczas otrzymane przez niego cechy podzielności będą trudniejsze do sformułowania, np. cecha podzielności przez 3 będzie to “liczba dzieli się przez 3, jeśli suma reszt z dzielenia jej cyfr przez 3 jest podzielna przez 3”. Mimo skomplikowanego brzmienia taka zasada może być równie wygodna w użyciu co “szkolna” wersja, a odkrywając ją samodzielnie, uczeń nie będzie miał kłopotu z jej zapamiętaniem.

Jak powtarzać i utrwalać cechy podzielności?

Najlepiej jest utrwalać cechy podzielności, obserwując je w działaniu i korzystając z nich. Jest sporo tematów, które na to pozwalają, jak choćby wielokrotności oraz skracanie ułamków.

Możemy również zaproponować dziecku powtórzenie cech podzielności w formie gry powstałej na bazie kultowego “Zgadnij kto to”.