Cztery kąty w czworokącie

Jeszcze zanim będziemy bardzo szczegółowo przyglądać się czworokątom, warto odwołać się do doświadczeń, które dzieci już mają. Jeśli korzystaliście z komody geometrycznej (wersję do pobrania znajdziecie poniżej), to możecie wykorzystać do opisanych ćwiczeń właśnie takie czworokąty. Jeśli nie, możecie po prostu narysować własne (proponuję wyciąć je z czegoś sztywnego). Będziemy z nich jeszcze korzystać przy dalszym poznawaniu czworokątów.

Dziś jednak proponuję trochę się pobawić. Do tej zabawy będziemy wielokrotnie wracać, bo możemy w trakcie odkryć mnóstwo własności kątów w czworokątach! Zobaczymy między innymi, że:

• suma miar kątów w każdym czworokącie to 360°,
• w trapezie miary kątów przy jednym ramieniu sumują się do 180°,
• w równoległoboku miary dwóch sąsiednich kątów sumują się do 180°,
• w równoległoboku miary przeciwległych kątów są jednakowe.

To co to za zabawa? Układanie parkietażu z jednakowych kafelków! 🙂

Wyobraźcie sobie, że macie firmę produkującą fantazyjne kafelki. Do takich naprawdę fantazyjnych jeszcze dojdziemy, ale zacznijmy od tego, co wydaje się proste – parkietaży jednakowymi wielokątami.

Co to jest parkietaż?

Co to właściwie jest parkietaż? To pokrycie płaszczyzny za pomocą pewnych figur (często będę je nazywać kafelkami). Figury nie mogą na siebie “nachodzić” (mogą stykać się tylko brzegiem). Nie może też pojawić się żadna “dziura”, nie przykryta kafelkiem. Dziś zajmiemy się takimi parkietażami, w których wszystkie kafelki są identyczne (po “matematycznemu”: przystające).

Oczywiście nie jesteśmy realnie w stanie pokryć całej, nieskończonej płaszczyzny. Będziemy się starali układać kafelki na tyle długo, by dostrzec w tym jakąś metodę i mieć pewność, że da się to kontynuować w nieskończoność. W tych przykładach, które będziemy oglądać, wzór powtarza się w pewien sposób, będzie to doskonale widać już po kilku/kilkunastu kafelkach. Warto wiedzieć, że nie zawsze tak jest – są takie kafelki, którymi można pokryć całą płaszczyznę, a wzór się nie powtórzy (powtarzają się, oczywiście, pewne małe fragmenty, ale całości nie da się przesunąć czy przekręcić tak, by wszystkie kafelki ułożyły się jednakowo). O takich parkietażach, których pierwszym przykładem jest parkietaż Penrose’a, postaram się jeszcze kiedyś napisać 🙂

Z doświadczenia wiem, że najłatwiej pracuje się dzieciom, gdy mogą fizycznie ułożyć kafelki i je dopasować. Do tego idealnie sprawdzą się wielokąty ze sklejki, kartonu, pianki kreatywnej czy innego materiału, który ma pewną grubość i sztywność. Jeśli nie mamy takiej możliwości, możemy układać wielokąty ze zwykłego papieru (niektórym dzieciom pomaga wówczas naklejanie, by ułożona część już się nie przesuwała). Możemy też wykonać jeden grubszy i sztywny wielokąt i pozwolić dziecku odrysowywać go – to wymaga już bardziej rozwiniętej małej motoryki, ale też daje później możliwość przekształcenia w niesamowitą sztukę!

Zaczynamy od “byle czego”

Zacznijmy od kafelków, które są dowolnym czworokątem – wypukłym lub wklęsłym. Najłatwiej będzie nam, jeśli boki czworokąta będą istotnie różnić się długością. Nie ma wówczas wątpliwości, czy kafelek pasuje w jakieś miejsce.

Jak wyciąć takie czworokąty? Jeśli wycinamy z grubego materiału, to musimy odrysować wielokąt i wyciąć odpowiednie kafelki. Jeśli chcemy działać ze zwykłą kartką, to możemy złożyć ją na kilka części i wyciąć kilka kafelków naraz, to zdecydowanie upraszcza pracę! 🙂

No dobrze, a co gdy mamy już gotowe kafelki? Zapytajmy dziecko, czy da się z nich ułożyć parkietaż. Niech próbuje, doświadcza, kombinuje! Po jakimś czasie może dostrzeże, że jest możliwe? A może nawet odkryje, jak to robić?

Mój sposób na układanie jest taki: na początek kładę jeden kafelek. Drugi przykładam do niego, a następnie obracam “do góry nogami”, o 180°, wokół środka któregoś boku. Kolejne kafelki dodaję podobnie: przykładam do kafelka już położonego i obracam wokół środka któregoś boku.

Po jakimś czasie dostrzeżemy, że w powstającym parkietażu kafelki mają dwa możliwe położenia (łatwo to zresztą wyjaśnić moim sposobem układania) – ja ułożyłam je z kafelków w dwóch kolorach, żeby było to łatwiej zauważyć.

Z doświadczenia wiem, że za pierwszym razem ułożenie takiego parkietażu może być bardzo zaskakujące! Ale nie musi się skończyć na zachwycie. Co możemy odkryć w takim parkietażu? Jeśli spojrzymy na miejsce, w którym schodzą się kafelki, dostrzeżemy, że łączą się tam wierzchołkami cztery różne kąty naszego czworokąta. To oznacza, że razem tworzą one kąt pełny, kąt 360°! Nie jest to dowód że tak jest, a jedynie powód, dla którego taki parkietaż miał szansę się udać. Jest to jednak na tyle mocne doświadczenie sensoryczne, wywołujące zachwyt, że ma szansę zostać w pamięci o wiele dłużej niż formalny dowód.

Zależności między kątami w “szczególnych” czworokątach

To nie koniec! W parkietażu możemy zauważyć również inne zależności między kątami czworokątów. Na początek przyjrzyjmy się parkietażowi z trapezów.

Widać na nim pasy (u mnie są one poziomie). Dlaczego tak się dzieje? Możemy wyjaśnić to na kilka sposób.

Kiedy obracamy figurę “do góry nogami”, to odcinki zachowują swoje kierunki. Dlatego podstawa trapezu po obrocie ma nadal ten sam kierunek, jednakowy jak druga podstawa w kafelku obok. Razem tworzą one linię pomiędzy “pasami”.

Możemy też uzasadnić to, przyglądając się kątom w trapezie. Na rysunku zaznaczyłam dwa kąty trapezu, które na jednym kafelku znajdują się przy jednym z ramion trapezu. Tutaj jednak dzięki przełożeniu wylądowały “obok siebie” i utworzyły kąt półpełny! Jest to doświadczenie, które pozwala doświadczyć, że w trapezie miary kątów przy jednym ramieniu mają razem 180°.

A co zobaczymy, jeśli ułożymy parkietaż z równoległoboków?

• 

Tym razem pasy układają się w dwóch kierunkach (u mnie poziomo i ukośnie). To oznacza, że tych kątów sumujących się do 180° jest tutaj więcej! Dowolne dwa sąsiednie kąty spełniają ten warunek.

Możemy z tego wywnioskować, że kąty, które znajdują się naprzeciwko siebie w równoległoboku, mają tę samą miarę. Ale możemy to też zobaczyć! Widzicie? Ci, którzy wiedzą, co to kąty wierzchołkowe, dostrzegą je bez problemu 🙂

Widać też jak na dłoni, że zielone i czerwone równoległoboki są takie same (zupełnie nie widać, że są “do góry nogami”. To dlatego, że równoległobok jest środkowosymetryczny 🙂

A gdzie prawdziwe dowody?

Na nie też przyjdzie czas! Doświadczenie przez działanie i analiza poparta argumentami to dwa mocno przeplatające się sposoby na odkrywanie matematyki.

Sumę kątów w czworokącie możemy uzasadnić rozcinając go wzdłuż przekątnej na dwa trójkąty (każdy z nich ma kąty, których miary sumują się do 180°). Pozostałe własności zwykle dowodzimy, wykorzystując własności kątów naprzemianległych, odpowiadających, przyległych.

Ale to już na kolejną opowieść… A dziś pozwólmy dzieciom dotknąć, zobaczyć, doświadczyć!