Czym się różnią TRÓJKĄTY, a co je łączy?

Trójkąt to jeden z pierwszych wielokątów, którym się przyglądamy. Doświadczamy go w różnych sytuacjach. Dzieci pracujące metodą Montessori już na wczesnym etapie mają okazję poznawać trójkąty sensorycznie w komodzie geometrycznej.

Dziś chciałabym opowiedzieć trochę więcej o późniejszym etapie – odkrywaniu własności trójkątów i ich różnorodności w uporządkowany sposób, prowadzący do poznania ich pełnej klasyfikacji.

Oczywistym spostrzeżeniem jest dla dzieci to, że każdy trójkąt ma trzy boki i trzy wierzchołki. Nawet sprawa z kątami nie jest już tak oczywista, wbrew nazwie. Dlatego przyjrzyjmy się najpierw bokom trójkąta.

Z jakich narzędzi będziemy korzystać?

Do obserwacji trójkątów (szczególnie ich boków) doskonale nadają się patyki geometryczne – jedna z pomocy Montessori. Zawiera ona kolorowe listewki – każdej długości odpowiada inny kolor, które można odpowiednio łączyć. Jeśli nie macie tej pomocy, zachęcam do wykonania kolorowych patyczków (na przykład z wykałaczek do szaszłyków lub ewentualnie trochę grubszych patyczków jak u mnie) odpowiednich długości. Kolory nie mają ogromnego znaczenia, ale jeśli będą takie, jak opisane poniżej, łatwiej będzie o powtórzenie poszczególnych ćwiczeń czy wykorzystanie montessoriańskich propozycji ćwiczeń. Dziecko może je układać lub łączyć w figury np. za pomocą plasteliny czy masy solnej, albo kawałków czegoś, w co można swobodnie wbić patyczki. Jeśli natomiast zależy wam na odtworzeniu tradycyjnej pomocy na przykład z kartonu, to wzory wszystkich elementów można pobrać na stronie http://www.tackleboxmontessori.com/wp-content/uploads/2020/11/20GeoSticks.pdf

• brązowe patyki – 2cm
• fioletowe patyki – 4cm
• pomarańczowe patyki – 6cm
• czerwone patyki – 8cm
• czarne patyki – 10cm
• kremowe patyki – 12cm
• zielone patyki – 14cm
• różowe patyki – 16cm
• niebieskie patyki – 18cm
• żółte patyki – 20cm

Drugą pomocą, która może nam posłużyć, są trójkąty z komody geometrycznej. W kwadratowych tabliczkach wycięte są otwory w kształcie różnych trójkątów, w nich umieszcza się pasujące figury. Jeśli chcecie wykonać je samodzielnie, na przykład z tektury, to możecie wydrukować odpowiednie wzory. Uzupełniam je również o więcej trójkątów (tym razem już bez tabliczek), które mogą poszerzyć starszym dzieciom wyobrażenie o różnych trójkątach i ubarwić ich klasyfikowanie. Wiadomo – im więcej różnych egzemplarzy do rozdzielenia, tym więcej wyzwań.

Czy boki trójkąta muszą być różnej długości?

Oczywiście, że nie! Spróbujmy jednak zatrzymać się na chwilę. Zmierzmy wszystkie boki trójkąta (albo przyjrzyjmy się ich kolorom, jeśli budujemy z patyków geometrycznych.

Może się zdarzyć, że każdy bok jest innej długości. Takie trójkąty nazywamy czasem trójkątami różnobocznymi, choć zwykle po prostu nic nie mówimy na temat ich boków, bo i nic ciekawego na pierwszy rzut oka nie widać.

Może się jednak zdarzyć, że jakaś długość się powtarza. Jeśli chociaż dwa boki są tej samej długości, to trójkąt nazywamy równoramiennym (ramionami nazywamy wówczas te boki równej długości). Jeśli budujemy trójkąt z patyków geometrycznych, to w trójkącie równoramiennym któryś kolor boku się powtarza. W komodzie geometrycznej natomiast możemy doświadczyć, że trójkąt równoramienny pasuje do otworu w tabliczce nawet kiedy “przewrócimy” go na drugą stronę (trójkąty, które nie są równoramienne nie mają tej własności). Dzięki temu możemy też zauważyć, że trójkąty równoramienne mają nie tylko dwa boki tej samej długości, ale też dwa kąty tej samej miary.

Wśród trójkątów równoramiennych znajdują się takie, które mają wszystkie trzy boki tej samej długości. Te trójkąty, to trójkąty równoboczne (są one również równoramienne! – jest to pewien niuans, na etapie sensorycznym zupełnie nieistotny, ale na etapie klasyfikacji warto pilnować się z takimi sprawami). Takie trójkąty zbudowane z patyków geometrycznych mają wszystkie boki w tym samym kolorze.

Pozwólmy dzieciom badać dostępne trójkąty, a także budować własne. Niech obserwuje i doświadcza, jak poszczególne rodzaje trójkątów mogą wyglądać. Gdybyśmy chcieli wyznaczyć zbiory, zawierające poszczególne rodzaje trójkątów, to wyglądałoby to tak:

Jeśli dziecko ma problem z umieszczeniem trójkątów w odpowiednich pętlach, to możemy przy nazwach rodzajów trójkątów dopisać również pytanie pomocnicze:

• trójkąt różnoboczny: czy każdy bok trójkąta jest innej długości?
• trójkąt równoramienny: czy w trójkącie są chociaż dwa boki tej samej długości?
• trójkąt równoboczny: czy wszystkie boki trójkąta są tej samej długości?

Ponieważ nazwa “trójkąt różnoboczny” nie jest ani często używana, ani ogólnoprzyjęta, możemy też stworzyć zbiory “trójkąty”, “trójkąty równoramienne” i “trójkąty równoboczne”. Wtedy układ zbiorów będzie “jeden w drugim” i będzie wyglądał tak:

Czy długości boków mogą być dowolne?

Wiemy już, że boki trójkąta mogą mieć jednakowe długości, mogą również być zupełnie różne. Ale czy całkiem dowolne? Spróbujmy poeksperymentować z patykami geometrycznymi. Spróbujcie zbudować trójkąty na przykład z takich zestawów patyków:

• kremowy (12cm), czarny (10cm) i czerwony (8cm)
• różowy (16cm), czarny (10cm) i czerwony (8cm)
• żółty (20cm), czarny (10cm) i czerwony (8cm)
• kremowy (12cm), czerwony (8cm) i fioletowy (4cm)
• żółty (20cm) i dwa czerwone (8cm)

W pierwszych dwóch przypadkach uda się bez problemu, ale co dalej…?

W trzecim przypadku czarny i czerwony patyk po przyczepieniu do żółtego nie dają już rady do siebie “dosięgnąć”. Podobnie w kolejnej sytuacji – tutaj niby patyki dosięgną do siebie, ale “ledwo ledwo” i zamiast trójkąta otrzymamy odcinek. Nawet trójkąt równoramienny nie zawsze da się zbudować przy zadanych długościach boków, jeśli ramiona okażą się za krótkie – to pokazuje ostatnia sytuacja.

• 

• 

• 

Dajmy dziecku popróbować różnych zestawów. Może uda mu się dostrzec, na czym polega problem? Jeśli zaczniemy od jednego boku i na jego końcach przyczepimy kolejne dwa, to mogą one “dosięgnąć” do siebie tylko, jeśli ich łączna długość jest większa niż długość boku, od którego zaczynaliśmy.

Dlatego dowolne dwa boki trójkąta muszą mieć sumę długości większą niż długość trzeciego boku.

Gdzie trójkąt ma trzy kąty? Co je łączy?

Pamiętacie, czym jest kąt? To nieograniczona figura, a przecież trójkąt zdecydowanie jest ograniczony! To oznacza, że w trójkącie żaden kąt się nie mieści! Gdzie w takim razie trójkąt ma swoje trzy kąty?

Wybierzmy jeden z wierzchołków kąta i przedłużmy boki, które z niego wychodzą, do półprostych, zaczynając od tego wybranego wierzchołka. Kąt, który tworzą te półproste (pamiętacie, że dwie półproste tworzą dwa kąty? wybieramy ten, w którym leży trójkąt), to właśnie kąt wewnętrzny trójkąta (w skrócie po prostu kąt trójkąta). Jeden z trzech, bo przecież możemy wybrać inny wierzchołek i zrobić dokładnie to samo.

Spróbujmy się im teraz przyjrzeć. Warto oznaczyć każdy z nich inną literą grecką lub innym kolorem (wtedy łatwiej o nich rozmawiać). Przygotujmy kilka kopii (co najmniej trzy, ale zachęcam, by przygotować więcej) trójkąta o bokach różnej długości (nie jest to kluczowe, możemy powtórzyć to ćwiczenie na innych trójkątach – warto jednak, by długości boków nic nam nie sugerowały), lub jedną sztukę wykonaną np. z grubej tektury (tak, by móc ją odrysować).

Jeśli będziemy układać, to na każdej “kopii” trójkąta oznaczamy odpowiednie kąty kolorami lub literami. Teraz układamy trzy trójkąty jak na zdjęciu. Co możemy zauważyć? “Na górze” trzy kąty trójkąta utworzyły razem kąt półpełny. Żeby udowodnić ten fakt, trzeba by skorzystać z własności kątów naprzemianległych. Jednak samo ułożenie, zobaczenie, dotknięcie, zweryfikowanie na różnych trójkątach, jest już ważnym doświadczeniem.

Możemy je poszerzyć o spostrzeżenie, że wszystkie odpowiadające boki poszczególnych kopii tworzą linie równoległe. Przede wszystkim jednak możemy kontynuować układanie trójkątów, tworząc parkietaż płaszczyzny (a przynajmniej pewien kawałek takiego parkietażu). Bardzo zachęcam do takiego eksperymentowania z przeróżnymi trójkątami i wypatrywania, gdzie można dostrzec sumę trzech kątów trójkąta. Im więcej kopii trójkąta, tym więcej zabawy!

Jakie mogą być kąty trójkąta?

Przyjrzyjmy się teraz rodzajom kątów w trójkącie. Wiemy, że wszystkie są wypukłe (skoro razem mają dać kąt półpełny, to każdy z nich nie może tego kąta półpełnego przekroczyć), czyli mogą być ostre, proste lub rozwarte. Fascynaci zdegenerowanych przypadków (o których w szkole nie mówimy i udajemy, że nikomu przez myśl nie przechodzą) mogą zauważyć jeszcze że kąt mógłby być zerowy lub półpełny – wtedy jednak niektóre boki trójkąta się pokryją, a sam trójkąt stanie się odcinkiem (kwestia czy uważamy to nadal za trójkąt jest raczej techniczna lub filozoficzna i nie będę w nią wchodzić, ale jeśli dziecko zabłądzi myślami w takie obszary, to nie bójmy się tego!).

Spróbujmy teraz się zastanowić, ile kątów ostrych, prostych i rozwartych może pojawić się w trójkącie? Najłatwiej jest zacząć od tych ostatnich: czy trójkąt może mieć dwa kąty inne niż ostre (proste lub rozwarte)? Okazuje się, że nie, bo dwa kąty już same tworzą kąt półpełny (“nic” by nie zostało na trzeci kąt trójkąta), jeśli któryś z nich powiększymy do rozwartego, to przekroczą kąt półpełny i nie uda się zbudować trójkąta. Dlatego najwyżej jeden kąt może być prosty lub rozwarty. Pozostałe kąty muszą być ostre. Może też się zdarzyć tak, że wszystkie kąty są ostre – taka sytuacja ma miejsce na przykład w trójkącie równobocznym.

Rodzaje trójkątów ze względu na kąty

Wcześniejsze rozważania pokazują nam, że możemy mieć trzy możliwości, jeśli chodzi o rodzaje kątów trójkąta:

• jeden kąt rozwarty i dwa kąty ostre – taki trójkąt nazywamy rozwartokątnym,
• jeden kąt prosty i dwa kąty ostre – taki trójkąt nazywamy prostokątnym,
• trzy kąty ostre – taki trójkąt nazywamy ostrokątnym.

Możemy spróbować przydzielić trójkąty do zbiorów trójkątów rozwartokątnych, prostokątnych i ostrokątnych. Tym razem te zbiory będą rozłączne, tworzą one tak zwaną klasyfikację trójkątów ze względu na kąty:

Przy rozpoznawaniu rodzajów trójkątów ze względu na kąty, może pojawić się kilka kłopotów. Warto być na nie przygotowanym i przedyskutować je z dzieckiem.

Na początku warto badać wszystkie kąty trójkąta – określić rodzaj każdego z nich i wówczas przyporządkowywać odpowiedni rodzaj trójkąta. Dzieci zwykle szybko zauważają, że jeśli rozpoznają, że jakiś kąt jest prosty lub rozwarty, to dalej sprawdzać nie trzeba – już wiemy, jakiego rodzaju jest trójkąt. Co innego z kątem ostrym – jeśli sprawdzimy, że jakiś kąt trójkąta jest ostry, to nadal nie mówi to nam nic o pozostałych! Jeśli dziecko bardzo lubi oszczędzać sobie pracy, jest i na to sposób – wystarczy sprawdzić, jakiego rodzaju jest największy kąt (jeśli największy kąt jest ostry, to pozostałe tym bardziej). No dobrze, ale jak rozpoznać największy kąt, zanim wszystkie zmierzymy? Często można “na oko”. Można też wykorzystać następującą własność trójkąta: największy kąt to ten naprzeciw najdłuższego boku. Długość boków zwykle łatwiej dzieciom oszacować, czy nawet zmierzyć. Czy to szybszy sposób? To zależy od dziecka! Myślę, że warto pokazać go tym, którzy wykazują zainteresowanie tematem i kombinują, jak zmniejszyć sobie potrzebną ilość pracy.

Chciałabym jeszcze odnieść się do samego rozpoznawania rodzajów kątów. Część kątów ostrych i rozwartych możemy bez problemu ocenić “na oko” przy odrobinie wprawy. W przypadku kątów, które są bliskie kątowi prostemu, nasze oko potrafi nas oszukać. To dlatego warto w takich wątpliwych sytuacjach mierzyć kąt lub porównywać go z “wzorcowym” kątem prostym. Ja lubię mieć taki kąt wykonany z czegoś przezroczystego i kolorowego zarazem. Zwykle bardzo ułatwia to dzieciom dostrzeżenie, jaki jest badany kąt.

• 

• 

• 

Co więcej, niektóre dzieci mają kłopot z dostrzeżeniem kąta prostego, jeśli nie jest on pomiędzy “pionową” i “poziomą” linią. Dlatego pozwalajmy dzieciom obracać badane trójkąty (a nawet książki, czy zeszyty, jeśli w nich znajdują się rysunki). W geometrii często spojrzenie z odpowiedniej perspektywy jest właściwie rozwiązaniem zadania! Nie bójmy się takiego eksperymentowania 🙂

Jak się ma to wszystko do siebie?

Na sam koniec warto połączyć obie klasyfikacje (ze względu na boki i ze względu na kąty). Dla uproszczenia zadbamy, by obie klasyfikacje były podziałem trójkątów na zbiory rozłączne. Jeden podział już znamy – trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. Drugi podział odrobinę modyfikujemy: trójkąty równoboczne, równoramienne ale nie równoboczne oraz różnoboczne.

Możemy teraz umieścić jeden z podziałów w kolumnach, a drugi w wierszach tabeli. Otrzymamy dziewięć pól, w których możemy umieszczać poszczególne trójkąty. Po skończonej pracy uzyskamy taki efekt:

A co z dwoma pustymi polami? Przypomnijmy sobie nasze spostrzeżenia o trójkącie równobocznym – on po obróceniu czy przewróceniu na drugą stronę, również pasuje do otworu w tabliczce. To oznacza, że nie tylko jego boki są równe, ale także jego kąty mają tę samą miarę (jest to zresztą kąt 60 stopni, czyli kąt półpełny podzielony na 3 równe części). Skoro tak, to na pewno muszą wszystkie być tego samego rodzaju, a więc ostre. To oznacza, że trójkąt równoboczny może być tylko ostrokątny.

Do trójkątów będziemy wracać jeszcze wielokrotnie. Wierzę, że ta dzisiejsza analiza to doskonały wstęp do dalszych działań! Jeśli chcecie, zapraszam również do artykułu o polu trójkątów.