Porównywanie w systemie dziesiętnym (liczb naturalnych i ułamków dziesiętnych)

Zanim jeszcze zabierzemy się za wykonywanie działań na liczbach naturalnych i ułamkach dziesiętnych, możemy zastanawiać się nad ich porównywaniem, czyli określaniem, która z liczb jest większa, a która mniejsza (a może są równe?). Historia liczb przebiegała zresztą najprawdopodobniej właśnie tak – liczby powstały dzięki konieczności porównywania liczebności różnych zbiorów. Dopiero na dalszym etapie pojawiły się operacje na liczbach – działania.

Dzieci porównują na codzień – pewnych rzeczy chciałyby mieć “jak najwięcej”, innych “jak najmniej”. Dopóki operujemy niewielkimi liczbami (jedno-, ewentualnie dwucyfrowymi), porównywanie wydaje się dość oczywiste. To dlatego, że mamy w głowie przeliczanie, w którym pojawiają się interesujące nas liczby. W czasie przeliczania liczby stają się coraz większe, więc im później liczba pojawia się przy przeliczaniu, tym jest większa. To ważna intuicja, ale nie wystarcza do tego, by szybko określać 

W tym artykule chciałabym pokazać różne intuicje stojące za porównywaniem liczb w systemie dziesiętnym. Każda wymaga pewnych obserwacji, które będziemy się starali poczynić na konkrecie, czyli w sposób dostępny dla dzieci. Ja prezentuję je na montessoriańskich znaczkach, ale analogiczne ćwiczenia, jeszcze bardziej namacalne, można wykonać na złotym materiale. Każdy rodzic/nauczyciel musi sam ocenić, jaki materiał sprawdzi się najlepiej dla jego dziecka. 

Po co nam kolejne cyfry?

Pierwszą intuicją, która stoi za porównywaniem dużych liczb naturalnych jest kwestia wagi poszczególnych cyfr. Warto by dziecko mogło jej “dotknąć” i doświadczyć, na przykład dzięki geometrycznej hierarchii liczb. Najważniejszą obserwacją jest to, że przy przeliczaniu kolejne rzędy pojawiają się wtedy, gdy “brakuje” nam wcześniejszych rzędów do zapisu kolejnej liczby i… na dobre z nami zostają! Na przykład jeśli doliczymy do 99, to nie jesteśmy w stanie zapisać kolejnej liczby za pomocą dwóch cyfr – to właśnie dlatego potrzebujemy setki! Wszystkie większe liczby również będą musiały setek używać (nawet jeśli cyfra setek będzie równa zero, to setki będą obecne w kolejnych cyfrach, np. tysiąc to dziesięć setek).

To właśnie z tego powodu “dłuższa” liczba, złożona z większej liczby cyfr, jest większa od tej “krótszej”. Jest to bardzo ważne spostrzeżenie, ale warto wyrazić je jeszcze innymi słowami. Czemu? Ano dlatego, żeby móc wykorzystać je kiedyś również przy porównywaniu ułamków dziesiętnych.

O “największej liczbie”

Wyobraźmy sobie przez chwilę, że mamy dostępne tylko liczby ograniczonej długości, np. trzycyfrowe – złożone z setek, dziesiątek i jedności. Możemy to doskonale zasymulować, wybierając odpowiednie tabliczki do podpisu liczb oraz znaczki czy elementy złotego materiału. Zaprośmy dziecko do zastanowienia się, jaką największą liczbę możemy z tego materiału ułożyć? Dzieci błyskawicznie zauważają, że jest to liczba złożona z samych dziewiątek, u nas jest to 999. Spróbujmy teraz znaleźć liczbę o 1 większą (czasami to ćwiczenie nazywa się “grą w dziewięć”) – dokładamy 1 do materiału i dokonujemy niezbędnych zamian: dziesięć jedności zamieniamy na jedną dziesiątkę, dziesięć dziesiątek na jedną setkę, dziesięć setek na tysiąc. To oznacza, że jeden tysiąc jest większy (o jeden) od największej liczby trzycyfrowej, a więc również od każdej liczby trzycyfrowej. Chcemy to spostrzeżenie uogólnić – część dzieci jest do tego od razu gotowa, część potrzebuje powtórzyć te obserwację dla innej długości liczb, np. z największą liczbą dwucyfrową czy czterocyfrową. Teraz możemy powiedzieć, że element ustalonego rzędu w systemie dziesiętnym jest większy od największej (a więc też każdej) liczby złożonej tylko z mniejszych rzędów.

Taką wiedzę warto już poćwiczyć – porównywanie liczb różnej długości można znaleźć w pierwszej części Bazy 10.

O liczbach tej samej długości

Porównywanie liczb różnej długości jest tylko pierwszym etapem porównywania liczb. Kolejnym jest umiejętność porównania dwóch liczb tej samej długości. Warto zacząć od niedużych liczb, np. dwucyfrowych, choć nie jest to konieczne – część dzieci zafascynowana wielkimi liczbami, woli od razu manipulować na dużych liczbach.

Pracę dzielimy na kilka etapów:

• Na pierwszym etapie dokonujemy z dzieckiem porównania liczb różniących się tylko w rzędzie jedności, np. 25 i 27. Układamy obie liczby z materiału. Która z nich jest większa? Oczywiście ta, która ma większą cyfrę jedności (dziecko może też łatwo zauważyć, o ile liczba jest większa: wystarczy w większą liczbę “rozdzielić” na tę mniejszą i “dodatkowe elementy” – u nas byłyby to dwie jedności).
• Na kolejnym etapie porównujemy liczby, które różnią się na jednej pozycji, ale niekoniecznie w jednościach. Możemy na przykład porównać liczby 53 i 83. Po ułożeniu obu liczb łatwo zauważyć, że druga z nich jest większa od pierwszej o trzy dziesiątki.
• Na trzecim etapie możemy porównać liczby, które różnią się na kilku pozycjach, ale zawsze “w tą samą stronę”, na przykład 253 i 459. Tutaj możemy po ułożeniu liczb z materiału zauważyć, że druga liczba jest większa od pierwszej o dwie setki i sześć jedności.
• Ostatni, najbardziej złożony etap, to porównywanie liczb, które różnią się na kilku pozycjach, ale “w różne strony”, na przykład 317 i 342. Pierwsza z nich ma o 5 jedności więcej, ale za to druga ma o 3 dziesiątki więcej. Która z nich jest większa? Przy niewielkich liczbach dziecko umie to dość szybko określić, możemy mu też z tym pomóc: 5 jedności to mniej niż dziesiątka, więc 3 dziesiątki są “istotniejsze” niż 5 jedności – większa jest liczba 342. Podobne, choć trudniejsze dla dziecka rozumowanie warto przeprowadzić na większych liczbach, na przykład 4528 i 3798. Pierwsza liczba ma o jeden tysiąc więcej, niż druga. Za to druga ma więcej o dwie setki i siedem dziesiątek. I tu przydaje się intuicja z poprzednich części: tysiąc to więcej niż dwie setki i siedem dziesiątek, bo jest wyższego rzędu! W takim razie to on “decyduje” o tym, że liczba 4528 jest większa.

Gdy dziecko wykona już kilka takich porównań, zacznie zauważać zależność: jeśli liczby są tej samej długości, to o tym, która z nich jest większa, decyduje różniąca je cyfra najwyższego rzędu. To dlatego porównujemy cyfry od najwyższego rzędu, czyli od lewej do prawej.

Ćwiczenia pozwalające utrwalić (lub odkryć!) tę wiedzę, można znaleźć w drugiej części Bazy 10. W ostatniej części tej bazy znajdują się również przykłady, w których dziecko musi skorzystać z obu poznanych reguł: dla liczb różnej długości i tej samej długości. Często dzieci potrzebują pracować na materiale, a oznaczenia kolorystyczne w bazie są z nim spójne. Dziecko samo zrezygnuje z rozkładania materiału, gdy nie będzie go potrzebować. Jeśli doszło już do tego etapu, może przejść do bardziej abstrakcyjnego, standardowego zapisu liczb – takie przykłady znajdują się w Bazie 11.

A co z ułamkami?

Ułamki dziesiętne porównujemy bardzo podobnie, ale musimy na początku uważać: nie możemy sugerować się tylko długością ułamków: przecież liczba 0,01 jest mniejsza niż 0,1! Jeśli dziecko tego nie dostrzega, możemy pokazać mu to, rozmieniając część dziesiątą na dziesięć części setnych.

Na porównywanie ułamków można spojrzeć na dwa sposoby, każdy z nich ma wśród dzieci swoich zwolenników.

Pierwszy odnosi się do “gry w dziewięć” dla ułamków, opisanej we wpisie o ułamkach dziesiętnych. Tam dziecko mogło doświadczyć, że największa nawet część ułamkowa, jaką zdołamy zapisać, jest mniejsza od jedności. Dokładnie tak samo możemy pokazać, że np. 0,099999 jest mniejsze od jednej części dziesiątej. Prowadzi to do wniosku, że jedna część danego rzędu jest większa niż liczba zapisana tylko za pomocą cyfr w kolejnych rzędach. W takim razie podobnie jak w liczbach naturalnych “decydujące” będą te różniące się cyfry, które są najwyższego rzędu. Jeśli dziecko potrzebuje, możemy ponownie przeprowadzić je przez etapy podobnie jak przy liczbach naturalnych jednakowej długości. Potrzebne będzie tutaj jeszcze spostrzeżenie, że jeśli w zapisie jakiegoś ułamka nie ma żadnej cyfry na danym miejscu, to oznacza to brak (zero) części danego rodzaju.

Drugi sposób odnosi się do “rozmieniania” części ułamkowej na części jednego rodzaju, tak jak dzieje się to choćby przy nazywaniu ułamków (0,26 to dwadzieścia sześć setnych). Przy takim podejściu dziecko, które umie porównywać liczby naturalne, bez problemu porówna ułamki “tej samej długości” np. 0,372 i 0,429 (jest to odpowiednio 372 tysięcznych i 429 tysięcznych). Drugim etapem przy takim podejściu są ułamki “różnej długości”, np. 0,34 i 0,152. Ich nazwy (trzydzieści cztery setne oraz sto pięćdziesiąt dwie tysięczne) nie pozwalają nam od razu na ich porównanie. Jednak jeśli dziecko rozumie, dlaczego właśnie tak nazywamy te ułamki, powinno poradzić sobie z odpowiedzią na pytanie, ile części tysięcznych daje 0,34 po “rozmienieniu” (jest to trzysta czterdzieści tysięcznych). W takim razie liczba 0,34 (myślimy o niej w zasadzie jako o 0,340) jest większa niż 0,152. Choć metoda ta wydaje się skomplikowana, szybko staje się prostsza, gdy dziecko zauważy, że wystarczy “wyrównać” liczby, dopisując zera na końcu jednej z nich.

Niezależnie od tego, którą drogą dojdziemy do tego z dzieckiem, jedna sprawa jest kluczowa – porównywanie cyfr od lewej do prawej nie bierze się znikąd i nie jest magiczną sztuczką. Dajmy dziecku doświadczyć, “dlaczego” coś robimy. Choć jest to więcej pracy, z pewnością zaprocentuje to w przyszłości.

Wszystkie te umiejętności możemy zdobywać i utrwalać, korzystając z Baz. Baza 52 zawiera przykłady z wyróżnieniem kolorystycznym poszczególnych pozycji dziesiętnych, a baza 53 – “zwykłe”, czarno-białe. Każda z nich zawiera trzy części:

• porównywanie części ułamkowych tej samej długości
• porównywanie części ułamkowych różnej długości
• porównywanie liczb i ich części ułamkowych (tej samej bądź różnej długości)