Wzory na pole czworokątów

Pola czworokątów to obszerny temat. W tym wpisie skupiam się na czworokątach wymienionych w polskiej podstawie programowej – prostokącie, równoległoboku, rombie, trapezie.

W tradycyjnych pomocach Montessori pole prostokąta i równoległoboku poznajemy w ramach żółtego pudełka pól. Są również metalowe ramki pozwalające na poznanie pola trapezu (niestety tylko na przykładzie trapezu równoramiennego) i rombu. Są one jednak dość kosztowne i mało dostępne. Chciałabym opisać opracowaną przez siebie propozycję pomocy – we wpisie znajdziesz pliki do pobrania oraz opis pracy z pomocą.

Z czego składają się pomoce i jak je wykonać?

Pierwsza, podstawowa pomoc składa się z czterech czworokątów: prostokąta, równoległoboku, rombu i trapezu, oraz z elementów, z których można ostatnie trzy czworokąty ułożyć. Wszystkie figury podzielone są na kratki. Zwyczajowo pudełko pól wykonuje się w kolorze żółtym, stąd tak właśnie przygotowałam plik do kolorowego druku. Można również wydrukować je w wersji czarno-białej (na żółtych kartkach, lub po prostu rezygnując z koloru). Warto postarać się o wykonanie pomocy w sposób trwały – wydruk na sztywnym papierze, zalaminowanie lub (według mnie jest to najlepsze rozwiązanie dzięki uzyskanej grubości ułatwiającej manipulację elementami) naklejenie na karton i wycięcie nożykiem introligatorskim. Przy każdym z tych rozwiązań warto pokusić się o wykonanie elementów dwustronnie – jest to odrobinę więcej pracy, ale też znacząco lepszy efekt. Jeśli zdecydujesz się na takie rozwiązanie, pobierz wersję do druku dwustronnego.

• 

W plikach znajdziesz również podpisy i wzory na pola – zdecyduj, czy chcesz mieć je wydrukowane, czy wolisz razem z dzieckiem pisać je na przygotowanych kartkach i układać.

Druga z proponowanych przeze mnie pomocy służy do pokazania zależności między dwoma wzorami na pole rombu (“z podstawą i wysokością” oraz z “przekątnymi”). Zawiera dwie kopie rombu, przy czym każda z nich jest podzielona na kratki w inny sposób. Ze względu na rozmiary zdecydowałam się na kratkę o boku 1cm, a plik przygotowałam w wersji dla osób, które mogą wydrukować format A3 (kolorowy lub czarno-biały) i takich, które mają możliwość druku tylko na standardowych kartkach A4 (kolorowe lub czarno-białe) – to drugie rozwiązanie wymagać będzie łączenia elementów z różnych stron.

Poniżej znajdziesz propozycje pracy z pomocami. Weź pod uwagę możliwości swojego dziecka i własne, nie bój się wprowadzać po swojemu poszczególnych pojęć i szukać własnych dróg. Wierzę, że pomoce mają ogromne możliwości, a części z nich na pewno nie przewidziałam 😉

Pole prostokąta

Pracę z polami czworokątów rozpoczynamy od prostokątów. Powód jest bardzo prosty: tylko prostokąty (o długości boków wyrażonych liczbą naturalną) możemy podzielić na “kratki”, które są jednostką pola.

Zwykle praca polega na zaprezentowaniu dziecku prostokąta (pojęcie powinno być już mu znane) podzielonego na kratki – może to być prostokąt 5×12 z pomocy do pól czworokątów lub 5×10 z pudełka pól trójkątów. Następnie pozwalamy dziecku poszukać odpowiedzi na pytanie, z ilu kratek składa się prostokąt. Istotne jest dostrzeżenie, że kratki są ułożone regularnie, np. w 5 rzędów po 12 kratek, dlatego ich liczba odpowiada wynikowi mnożenia – jeśli dziecko samo ma problem z wyciągnięciem takiego wniosku, możemy mu w tym pomóc pytaniami lub prezentacją.

Po sformułowaniu wniosku słownie i nieformalnie, przechodzimy do dalszej prezentacji. Obok odpowiednich boków prostokąta umieszczamy podpisy “długość” i “szerokość”. Następnie powtarzamy wniosek, umieszczając obok prostokąta wzór na pole zapisany słownie: “pole prostokąta = długość • szerokość”. Jeśli dziecko weszło już w etap myślenia abstrakcyjnego, możemy również pokazać, że jeśli długość nazwiemy literą a, szerokość zaś – literą b, to wzór możemy zapisać krócej jako “P=a•b”.

Warto szczególną uwagę zwrócić dziecku na sytuację, gdy prostokąt jest kwadratem. Może to być szczególnie istotne, jeśli dziecko ma już utrwalone pojęcie kwadratu liczby.

Warto pozwolić dziecku na eksperymentowanie z polami prostokątów, proponując mu wycinanie własnych prostokątów z kartki w kratkę i obliczanie ich pól lub wykonanie bazy 45. W kolejnych wpisach zaproponuję też kolejne ćwiczenia.

Pole równoległoboku

Pracę zaczynamy od pokazania dziecku równoległoboku i zadanie tego samego pytania, co przy prostokącie: z ilu kratek składa się figura? Dziecko powinno zauważyć, że nie jesteśmy w stanie określić tego od razu ponieważ część kratek jest “pocięta”. Część dzieci już w tym momencie zauważa, że poszczególne fragmenty kratek można spróbować połączyć w całe kratki – wówczas warto podkreślić, że to bardzo dobry sposób i spróbujemy go zaraz wykorzystać. Jeśli dziecko nie ma pomysłu, jak pole obliczyć, również nie ma problemu – zapraszamy je do dalszych obserwacji.

• 

• 

• 

• 

Przekazując dziecku odpowiednie dwa elementy, prosimy o ułożenie z nich drugiej kopii równoległoboku. Następnie zapowiadamy dziecku, że zamienimy równoległobok w prostokąt. Zanim to nastąpi pokazujemy dziecku dwa odcinki, które będą miały znaczenie – podstawę i wysokość. Warto umieścić wzdłuż nich odpowiednie podpisy i poprosić dziecko, by zwróciło uwagę na to, co będzie działo się z tymi odcinkami. Następnie przenosimy mniejszą część, by utworzyć prostokąt. Prosimy dziecko o opisanie tego, co teraz widzi, podpowiadając mu pytaniami. Otrzymaliśmy prostokąt, jego szerokość jest taka, jak wysokość równoległoboku, a długość pokrywa się z podstawą równoległoboku.

W ten sposób dziecko może zobaczyć, że pole równoległoboku jest takie, jak pole ułożonego prostokąta. Przypominamy (układamy) teraz wzór na pole prostokąta i pokazujemy, że aby otrzymać wzór na pole równoległoboku, musimy zastąpić szerokość przez wysokość, a długość przez podstawę. Na koniec możemy pokazać dziecku otrzymany wzór skrótowo: jeśli wysokość oznaczymy przez h, a podstawę oznaczymy przez a, to otrzymamy wzór: P = h • a.

Pole rombu

Pokazując dziecku romb, możemy wpierw poprosić je o opowiedzenie, co to za figura. Warto, by dziecko (jeśli nie miało do tego okazji na wcześniejszym etapie) sprawdziło, że wszystkie boki są jednakowej długości. Możemy zaznaczyć również przekątne, zbadać kąt między nimi, by przypomnieć sobie podstawowe własności rombu. To właśnie kąt prosty między przekątnymi sprawia, że wzór na pole rombu “działa”!

• 

• 

• 

Podobnie jak przy innych figurach, prosimy dziecko o ułożenie drugiej kopii rombu z przygotowanych trzech części. Następnie mówimy, że będziemy przekładać je, by utworzyć prostokąt. Sami lub wraz z dzieckiem układamy podpisy wzdłuż przekątnych i prosimy dziecko, by przy przekładaniu części zwróciło uwagę na to, co stanie się z przekątnymi. Następnie przekładamy dwa mniejsze elementy, by razem z trzecim utworzyły prostokąt. Wraz z dzieckiem podsumowujemy to, co widzimy: powstał prostokąt, jego długość jest taka jak jedna z przekątnych rombu, a szerokość równa połowie drugiej przekątnej. Pole naszego rombu jest jednakowe jak pole otrzymanego prostokąta. Przypominamy (i kładziemy) wzór na pole prostokąta. Później mówimy o tym, że by otrzymać wzór na pole rombu musimy “długość” zastąpić przez “jedna z przekątnych” a szerokość przez “pół drugiej przekątnej”. W ten sposób otrzymujemy wzór, który kładziemy obok wzoru na pole prostokąta. Możemy również dodać wzór zapisany w krótkiej formie – jeśli jedną przekątną oznaczymy przez e, drugą zaś przez f, to otrzymamy “szkolny” wzór, choć w nieco innej formie.

Jeśli chcemy pokazać dziecku również “standardową” formę wzoru, możemy również to zrobić, dokładając dodatkowe dwa trójkąty (wielkości takiej jak ćwiartka rombu). Możemy ułożyć dwie kopie rombu i zapowiedzieć dziecku, że policzymy, jakie mają pole razem. Następnie “podpisujemy” przekątne rombu. Dokładając trójkąty do boków rombu, tworzymy prostokąt, którego długość i szerokość są tej samej długości, co przekątne rombu. W takim razie pole dwóch rombów to pole tego prostokąta – długość jednej przekątnej razy długość drugiej. Stąd możemy wspólnie z dzieckiem wywnioskować, że pole rombu jest równe połowie tego iloczynu.

Ostatnią sprawą, która jest niezwykle ważna przy prezentowaniu pola rombu, jest przypomnienie, że romb jest szczególnym przypadkiem równoległoboku, można więc obliczać jego pole tak samo, jak pole równoległoboku, mnożąc podstawę przez wysokość. Dla niektórych dzieci ta możliwość jest bardzo zaskakująca – nie chodzi przecież o inną postać tego wzoru, ale o zupełnie inny wzór! Dlatego w drugiej pomocy proponuję taki romb, w którym można zaobserować działanie obu wzorów i przekonać się, że mimo dwóch zupełnie różnych metod obliczania, otrzymamy ten sam wynik. Pomoc jest przeznaczona dla dzieci, które są w stanie wykonać mnożenie liczb dwucyfrowych (mogą robić to z pomocą). Niestety nie da się wykonać jej dla mniejszych wymiarów.

• 

Ta pomoc zawiera dwie kopie rombu, ale każdy z nich ma kratki narysowane w inną stronę. Jeden z nich ma linie kratek ułożony równolegle do jednego z boków i wysokości opuszczonej na ten bok.

• 

• 

Możemy ułożyć go z dwóch części, również zawartych w pomocy, by zamienić go w prostokąt w ten sam sposób, jak robiliśmy to z równoległobokiem. Otrzymany prostokąt ma takie wymiary jak bok i wysokość rombu, w tej konkretnej pomocy jest to 25 i 24.

Druga kopia rombu ma linie kratek równoległe do przekątnych. Układając go z trzech części i przekładając tak jak robiliśmy to przy wzorze na pole rombu, otrzymamy prostokąt o wymiarach takich jak przekątna i pół drugiej. W tym przypadku jest to prostokąt 30×20.

• 

• 

Istotą pracy z tą pomocą jest nie tylko stwierdzenie, że oba wzory dadzą nam ten sam wynik. Chodzi również o dostrzeżenie, że dwa podejścia “wzięły się” z różnego namalowania kratek. To bardzo ważne spostrzeżenie – na ten sam obiekt matematyczny możemy nieraz patrzeć w różny sposób, otrzymując różne wnioski. To, że są różne, nie świadczy wcale o tym, że któryś z nich jest błędny.

Warto pokusić się też o rozmowę z dzieckiem, od czego będzie zależało to, którego wzoru użyjemy. Takich powodów może być wiele: łatwość mierzenia (gdy mierzymy w naturze, może być nam trudno np. wyznaczyć wysokość), łatwość obliczeń (z jednych pomiarów otrzymujemy “okrągłe” liczby), otrzymane dane. A są i takie sytuacje, kiedy wykorzystamy oba wzory!

Pole trapezu

Wprowadzając pole trapezu, rozpoczynamy od pokazania trapezu i poproszenie dziecka o ułożenie jego kopii z przygotowanych elementów. Przypominamy dziecku (które wie to już z poprzednich czworokątów), że będziemy zamieniać trapez w prostokąt. Układamy podpisy przy obu podstawach i wysokości i prosimy, by dziecko zwróciło uwagę na to, co będzie się z nimi działo. Przekładamy elementy tworząc prostokąt i wraz z dzieckiem podsumowujemy to, co teraz widzimy: otrzymaliśmy prostokąt, którego długość jest taka jak dwie podstawy trapezu razem, a szerokość jest jak połowa wysokości. Stąd możemy po wyłożeniu pola prostokąta omówić, jak zamienić długość (na sumę podstaw) i szerokość (pół wysokości).

• 

• 

• 

• 

Otrzymany powyższym sposobem wzór jest nieco inny od szkolnej wersji. Możemy jednak pokusić się o pokazanie wzoru w tej standardowej wersji. Jeśli chcemy się tego podjąć, możemy na przykład zapowiedzieć dziecku, że będziemy liczyć najpierw pole dwóch trapezów razem. Podpisujemy w nich podstawy i zaznaczamy wysokości, a następnie z dwóch trapezów składamy prostokąt. Wychodząc od wzoru na pole prostokąta możemy zobaczyć, czym musimy zastąpić wysokość równoległoboku (jest to wysokość trapezu) i podstawę równoległoboku (jest to suma podstaw trapezu). Skoro pole dwóch trapezów można obliczyć mnożąc wysokość trapezu przez sumę podstaw, to pole jednego trapezu to połowa tej wartości. Ten sposób jest zdecydowanie bardziej abstrakcyjny (używamy pola równoległoboku zamiast prostokąta, pojawia się konflikt nazw ponieważ mamy podstawy w równoległoboku i trapezie, a dodatkowo na końcu przechodzimy od dwóch trapezów do jednego). Mimo wszystko przy dzieciach potrafiących już wejść w abstrakcyjne rozumowanie, warto pokazać również tę metodę. Wzór w tej postaci jest szczególnie ważny, jeśli dziecko nie umie jeszcze wprawnie działać na ułamkach, a wysokość jest wyrażona liczbą nieparzystą.

Co dalej?

Razem z polami trójkątów, wyczerpaliśmy w zasadzie tematykę wzorów na pola figur, zawartą w podstawie programowej. Jest jednak jeszcze miejsce na twórcze działanie – jeśli chcecie zobaczyć zupełnie inne spojrzenie na pola, to zapraszam do wpisu o wzorze Picka.