Mnożenie liczb wielocyfrowych – magia kolorowych pionków

Mnożenie w systemie dziesiętnym jest bardzo łatwe, nawet przy dużych liczbach. „Bardzo łatwe” to oczywiście pojęcie względne, ale w porównaniu z innymi systemami zapisu liczb, ma znaczną przewagę – sprowadza się do mnożenia pojedynczych cyfr oraz sumowaniu kilku cyfr. Trzeba jednak zrozumieć je naprawdę dobrze, żeby wyniki, które uzyskamy znalazły się na odpowiednich pozycjach dziesiętnych w wyniku.

Zakładam, że do wpisu sięgają osoby, które mają już opanowane mnożenie przez liczbę jednocyfrową. Swoje prezentacje prowadzę na znaczkach (opisanych m.in. w tym wpisie), ale łatwo jest przeprowadzić je na innym materiale.

Maria Montessori umiała pokazać dzieciom te zależności na konkrecie. W mnożeniu liczb wielocyfrowych kluczowe jest zrozumienie, co dzieje się, gdy mnożymy przez 20, 400 czy 7000 – jeśli dobrze to zrozumiemy, będziemy mogli złożyć wynik mnożenia przez 7420. W tym celu w „grze w znaczki” zostały wprowadzone kolorowe pionki. Ideą tych kolorowych pionków jest reprezentowanie ilości otrzymanych przez 10 (granatowy pionek) lub 100 (czerwony pionek) zielonych pionków, które odpowiadają jednościom. Odpowiadają one również kolorom pól na „szachownicy do mnożenia”, o której napiszę w ostatniej części wpisu.

Maria Montessori wprowadzała kolorowe pionki w bardzo obrazowy sposób. W swojej książce pt. „Psychoarytmetyka” tak opisuje prezentację ich znaczenia (akurat w ćwiczeniu z dzieleniem złotego materiału, które nazwała „grą w kokardy”):

Na moim biurku leżą następujące przedmioty – 2 sześciany, 8 kwadratów, 7 pręcików i 9 pojedynczych koralików – które oznaczają liczbę 2879. Mając nadzieję, że trafnie odczytuję życzenia większości, składam następującą propozycję: 12 dzieci podejdzie do mnie, aby odebrać należne im części. Dwanaścioro dzieci spieszy do mojego biurka. Wtedy zwracam im uwagę, że jest ich zbyt wiele i powodują zamieszanie. Mówię, aby utworzyły dziesięcioosobową grupę, a ta grupa niech wybierze przedstawiciela, który będzie upoważniony do odbierania części należnych każdemu z grupy. Aby odróżnić to dziecko od dwojga pozostałych – które reprezentują tylko siebie – rozdaję opaski na ramię: dużą niebieską kokardę dla tego dziecka, które reprezentuje dziesięcioro dzieci, i dwie małe zielone kokardy dla pozostałych dwojga. […] Teraz zaczyna się rozdział obiektów między niebieskiego i zielonych.

Maria Montessori, „Psychoarytmetyka”, PWN 2020

Taki sposób wprowadzenia może sprawdzić się w grupie. W przypadku bardziej indywidualnej pracy spróbujmy na początek przypatrzeć się kolorowym pionkom i temu, co powinny otrzymać.

Mnożenie przez potęgi 10

Ustalmy pewną liczbę, którą będziemy chcieli mnożyć, u mnie będzie to 1243. Ułóżmy ją gdzieś z boku z materiału (złotego lub znaczków) jako wzór. Zacznijmy od przypomnienia, na czym polegało mnożenie (możemy wykonać całe działanie, lub po prostu do niego nawiązać, jeśli dziecko ma je na „świeżo”) – każdy z pionków otrzymuje tę wyznaczoną liczbę, a wynikiem mnożenia jest to, ile otrzymali wszyscy razem.

Wyjaśnijmy teraz, że spróbujemy naszą liczbę pomnożyć przez 10. Za pierwszym razem ustawiamy dziesięć zielonych pionków, przy każdym kładąc naszą liczbę. Sumując wykonujemy odpowiednie zamiany. Zbieramy po dziesięć znaczków (lub innych elementów materiału), które leżą jeden nad drugim i wymieniamy je na kolejny znaczek (o większej wartości). Po zamianie każdej kolumny otrzymujemy liczbę, która wygląda bardzo podobnie do wyjściowej (mnożonej): ma tyle samo znaczków, ale każdy ze znaczków ma wartość 10 razy większą od tego w mnożonej liczbie. Nic dziwnego, przecież nasza liczba miała być właśnie 10 razy większa, wystarczy w tym celu wymienić każdy znaczek na taki dziesięć razy większy!

Teraz przychodzi moment na wprowadzenie niebieskiego pionka. Będzie on reprezentował 10 zielonych pionków i dlatego będzie otrzymywał liczbę 10 razy większą niż zielony pionek (czyli zamiast każdego znaczka, który otrzymuje zielony pionek, niebieski pionek dostanie znaczek o większej wartości).

A jak będzie z czerwonym pionkiem? On reprezentuje 100 pionków zielonych, czyli 10 pionków niebieskich. W takim razie musi dostać tyle, co 10 niebieskich pionków. Spróbujmy zrobić to tak jak poprzednio – ustawić dziesięć niebieskich pionków, dać im ich „należność”, a następnie przy zliczaniu zamieniać każdą „kolumnę” jednakowych znaczków na znaczek o większej wartości. Dokładnie tak samo możemy wprowadzić duży zielony pionek – on odpowiada tysiącowi zielonych pionków (czyli dziesięciu pionkom czerwonym).

Mnożenie przez „okrągłe” liczby

Spróbujmy teraz mnożenia przez „okrągłe” liczby, czyli takie, które mają jedną niezerową cyfrę. Zaczniemy od 20. Moglibyśmy oczywiście postawić dwadzieścia zielonych pionków, ale możemy też zastąpić je dwoma niebieskimi (bo każdy z nich reprezentuje 10 zielonych pionków). Szczególnie, że wiemy już, ile każdy z niebieskich pionków musi otrzymać.

Będziemy mnożyć liczbę 1243. Wiemy, że w takim razie każdy z dwóch niebieskich pionków powinien otrzymać: 3 znaczki dziesiątek (zielony pionek otrzymałby jedności, więc niebieski otrzymuje dziesiątki), 4 znaczki setek (zielony pionek otrzymałby dziesiątki, więc niebieski otrzymuje setki), 2 znaczki tysięcy i jeden znaczek dziesiątki tysięcy. Ile otrzymali razem? Jest to 6 znaczków dziesiątek, 8 znaczków setek, 4 znaczki tysięcy i dwa znaczki dziesiątek tysięcy. W takim razie naszym wynikiem jest liczba 24860.

Po jednym lub kilku przykładach dziecko może zauważyć, że dzieje się tutaj mnożenie przez 2, a dodatkowo przesunięcie o jeden rząd w systemie dziesiętnym (zamieniamy znaczki na kolejne, ponieważ mamy niebieskie pionki). W ten sam sposób możemy pokazać mnożenie przez inne pełne dziesiątki, a potem pełne setki czy tysiące.

Ważne, żebyśmy po przykładach bez przekraczania progu dziesiątkowego, zrobili również takie, które będą wymagały przekroczenia progu. Nie powinno to sprawić większego kłopotu, jeśli dziecko ma to już opanowane w sytuacji mnożenia przez liczbę jednocyfrową.

W ten sposób dobrałam przykłady w Bazie 26 – najpierw mnożenie przez pełne dziesiątki/setki/tysiące, a następnie przez „okrągłe” liczby. Celowo zapisałam mnożenie w takiej a nie innej postaci (choć szkoła zaleca „wysuwać” zera z prawej strony). Uważam, że na początku jest to bardziej zrozumiały zapis dla dziecka. Inne formy można wprowadzić, kiedy jasna jest już cała zasada zapisu pisemnych działań, najlepiej już po wprowadzeniu mnożenia przez liczbę wielocyfrową. Zwracam również uwagę na to, że czasami umieściłam „dłuższą” liczbę pod „krótszą”. Warto w dalszej pracy przedyskutować z dzieckiem, czy i kiedy warto to robić.

Mnożenie przez dowolną liczbę wielocyfrową

Co dzieje się, kiedy mamy do czynienia z liczbą wielocyfrową? Jeśli mamy doświadczenie poprzednich etapów, to teraz nie spotka nas nic skomplikowanego. Spróbujmy pomnożyć naszą liczbę, 1243, przez 21.

Musimy ustawić jeden pionek zielony i dwa pionki niebieskie (ponieważ 21 ma jedną jedność i dwie dziesiątki). Ze względu na tradycyjny zapis mnożenia pisemnego, najlepiej ustawić wyżej pionek zielony, a pod nim niebieskie.

Ponieważ mnożymy liczbę 1243, zielony pionek otrzymuje właśnie taką wartość. Każdy z niebieskich pionków otrzymuje kopię złożoną z „więcej wartych” znaczków, czyli 12430. Ile otrzymają łącznie?

Podliczmy najpierw ile dostał każdy z kolorów pionków. Zielony pionek otrzymał 1243, a niebieskie pionki razem otrzymały 24860. Zapisujemy oba wyniki pod naszym działaniem. W przypadku liczby 24860 tradycyjnie pomija się zero, ale też nic złego się nie stanie jeśli je zapiszemy (zużyjemy tylko więcej ołówka ;)) – musimy podjąć decyzję, czy opuszczenie zer utrudni, czy ułatwi dalszą pracę dziecku. Jeśli opuszczamy zero, musimy zwrócić uwagę na to, że drugi wynik musi być „przesunięty” mimo tego, że zera nie piszemy. Przy znaczkach dobrze to widać, jeśli skupimy się na dodawaniu, które zadzieje się za chwilę: pod sobą muszą znajdować się odpowiadające pozycje dziesiętne. Możemy przesunąć materiał, żeby to zaznaczyć. Na koniec wystarczy dodać obie liczby – otrzymujemy wynik 26103.

Dobrze jest wykonać kilka przykładów, które zawierają przekroczenie progu dziesiątkowego tylko na etapie dodawania. Dzięki temu możemy skupić się na poszczególnych czynnościach i nauce zapisu. Takie przykłady znajdują się w Bazie 27.

Baza 28 to ostatni etap nauki mnożenia – tym razem musimy poradzić sobie z „przeniesieniami” przy mnożeniu, w których łatwo się pogubić. Ja podpowiadam uczniom, że warto zapisywać przeniesienia, ale też skreślać je w momencie „użycia”. W ten sposób nie mamy wątpliwości, które przeniesienia są z wcześniejszych mnożeń, a które musimy jeszcze uwzględnić.

A co dalej…?

Trochę mniej rozkładania materiału wymaga „szachownica”, która stała się sztandarową pomocą Montessori do mnożenia. Co ważne, wprowadzenie mnożenia wymaga zrozumienia, dlaczego właśnie tak ono wygląda, a sama szachownica tego nie wyjaśnia. Jest za to dobrym „mechanicznym” sposobem na mnożenie, świetnie sprawdza się u młodszych dzieci, które nie przechodzą jeszcze do pełnej abstrakcji. Nie skupiam się na tym rozwiązaniu, ponieważ adresuję blog do starszych dzieci (a w zasadzie ich rodziców), ale jeśli chcielibyście przeczytać o szachownicy i tym, jak zrobić ją w domu, to dajcie znać!

Poza tym otwiera się przed nami morze możliwości 🙂 Szczególnie interesujące jest badanie kwadratów i pierwiastków. Ale o tym już innym razem 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *