Porównywanie ułamków zwykłych – część I

Pisałam już o tym, jak wprowadzić pojęcie ułamka oraz jak pracować z ułamkami niewłaściwymi oraz liczbami mieszanymi. To nie koniec tego, co możemy dzięki pracy na konkrecie! Dziś chciałabym pokazać porównywanie ułamków zwykłych. Póki dziecko nie poznało rozszerzania i skracania ułamków, ograniczamy się do pracy z ułamkami o jednakowych mianownikach lub licznikach. Takie zadania przygotowałam w Bazach 66-70.

Materiał pozwala doskonale odkrywać, stawiać hipotezy i je weryfikować. Liczby ujemne i ułamki to pierwsze miejsca, gdzie różne rzeczy do tej pory oczywiste nagle wymagają skupienia, ostrożności, uwagi. Niby gdy ktoś zapyta, czy większa jest liczba 1/2 czy 1/5, to wiemy doskonale (szczególnie mając doświadczenie konkretu lub dobrą wyobraźnię matematyczną). Ale gdy ktoś zapyta o liczby 1/6382 i 1/6529, to często się mylimy. Potrzebne jest bowiem wieloetapowe myślenie: najpierw porównanie liczb 6382 i 6529, a potem wyciągnięcie wniosku na temat ułamków – oba etapy dotyczą tego co mniejsze/większe, więc niewprawiony mózg potrafi się pospieszyć lub zgłupieć 😀 Tego „głupienia” też trzeba doświadczyć – warto wiedzieć, kiedy jest moment, w którym potrzebujemy skupienia i ostrożności. Dlatego pozwólmy dzieciom robić błędy, zastanawiajmy się wspólnie, na czym polegały oraz skąd się wzięły i pozwólmy dzieciom wyciągnąć wnioski! Błędy to ich (i nasz!) przyjaciel 🙂

Jak można porównać ułamki? Po prostu układamy z materiału (opisany i gotowy do pobrania czeka we wcześniejszym wpisie) obie porównywane liczby, a następnie patrzymy, która jest większa 🙂 Czasami widać to „na pierwszy rzut oka”. Co, jeśli nie? Nakładamy jedną z liczb na drugą i wtedy porównujemy. Jeśli widzimy wystającą „spodnią” liczbę, to wiemy, że jest ona większa. „Luka” oznacza, że „spodnia” liczba jest mniejsza. A jeśli wydają się jednakowe? Warto jeszcze zamienić liczby miejscami (jeśli „wierzchnia” jest niewiele większa, to możemy tego nie zauważyć, po zamianie będzie to łatwiejsze) i sprawdzić wtedy. I tyle.

Takie porównania mogą wykonywać dzieci w każdym wieku, jeśli tylko znają już zapis ułamków. Co więcej – mogą to robić niezależnie od tego, czy my – dorośli, uważamy przykłady za łatwe. Mogą porównywać ułamki o różnych mianownikach i licznikach, kombinować, badać. Warto dać im na to czas 🙂 Jednocześnie musimy być świadomi, że zdecydowana większość dzieci do sformułowania zasad porównywania ułamków potrzebuje odpowiednio dobranych przykładów, które nakierują i pozwolą doświadczyć ich w konkretnych sytuacjach. Tak właśnie stworzone są bazy – prowadzą krok po kroku w różnych sytuacjach.

Ułamki 3/5 i 4/5 łatwo porównać, ponieważ są złożone z jednakowych części.

Każdą bazę dotyczącą porównywania ułamków podzieliłam na dwie części. Pierwsza z nich zawsze jest możliwa do rozwiązania na konkrecie. Druga – przeciwnie, wymusza niejako przejście na abstrakcyjny poziom. Dziecko rozwiązując zadania z pierwszej części może odkryć zależności i skorzystać z nich, rozwiązując drugą część bazy. Poniżej zebrałam krótki komentarz na temat tego, co do odkrycia znajduje się w każdej bazie 🙂

Jeśli dziecku wydaje się, że wie, jak zrobić bazę bez konkretu, warto zachęcić je do tego, by zweryfikowało swoje podejrzenia w 2-3 przykładach. Jeśli natomiast dziecko ma problem z przejściem do części abstrakcyjnej, możemy spróbować wrócić do wcześniejszych przykładów i spróbować naprowadzić dziecko pytaniami – również staram się je wypisać obok.

  • Baza 65 (porównywanie ułamków właściwych o jednakowych mianownikach)
    • odkrywna tutaj zasada dotyczy tego, że jeśli bierzemy jednakowe części, to im więcej ich weźmiemy, tym większą liczbę otrzymamy
    • bardzo ważne jest założenie o tym, że części są jednakowe – warto to dziecku pokazać, prosząc na przykład o porównanie na konkrecie np. ułamków 1/2 i 3/8.
    • pytania naprowadzające: ile tutaj jest części? a tutaj? czy wszystkie te części są takie same? gdzie tworzy się większa liczba?
  • Baza 66 (porównywanie ułamków niewłaściwych o jednakowych mianownikach)
    • poszerzenie poprzedniej bazy o ułamki niewłaściwe, zwykle nie sprawia dzieciom trudności
    • trudność dotyczy głównie pracy z konkretem (mamy go więcej niż całość, ale wiele dzieci nie potrzebuje układać materiału przy tej bazie) oraz porównywania większych liczb naturalnych
    • pytania naprowadzające takie jak w poprzedniej bazie oraz: czy to ma znaczenie, że części tworzą więcej niż całość? (nie! skoro są jednakowe, to ważne jest tylko to, ile ich jest)
  • Baza 67 (porównywanie liczb mieszanych o jednakowych mianownikach)
    • odkrywana to zasada dotyczy tego, że mniejsza jest ta liczba mieszana, która ma mniej całości. Jeśli obie porównywane liczby mają tyle samo całości, to wówczas „decyduje” część ułamkowa liczby
    • dla wielu dzieci jest to proste na konkrecie, ale wymaga dużego skupienia przy pracy abstrakcyjnej
    • pytania naprowadzające: która z liczb jest większa? dlaczego? czy części ułamkowe mają tutaj znaczenie? (przy różnej liczbie całości nie mają)
  • Baza 68 (porównywanie ułamków niewłaściwych i liczb naturalnych)
    • mamy dostępne dwie główne strategie poradzenia sobie z tym zadaniem: możemy zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną (i zobaczyć, czy pojawiło się tyle całości, ile mówi liczba naturalna) lub „rozmienić” liczbę naturalną na ułamek niewłaściwy (tu ważne jest, by dobrać mianownik zgodnie z ułamkiem, z którym porównujemy) i porównać ułamki niewłaściwe
    • główne spostrzeżenie polega na przypomnieniu sobie, że w ułamku niewłaściwym mogą „kryć się” całości. To ich liczba decyduje o tym, czy ułamek jest mniejszy czy większy od liczby naturalnej
    • pytania pomocnicze do zamiany na liczbę mieszaną: czy ułamek zawsze jest mniejszy od całości? (nie – jeśli części jest więcej niż mianownik, to mamy więcej niż całość, może ich być nawet kilka) Jak możemy to rozpoznać? Czy po zamianie na liczbę mieszaną możemy już rozpoznać, która liczba jest większa?
    • pytania pomocnicze do zamiany na ułamek niewłaściwy: gdybyśmy chcieli rozmienić tę liczbę naturalną na takie same części jak w ułamku, to ile by ich było? czy po takiej zamianie możemy rozpoznać, która liczba jest większa?
  • Baza 69 (porównywanie ułamków niewłaściwych i liczb mieszanych o jednakowych mianownikach)
    • tutaj mierzymy się z tym, by wiedzę z poprzednich baz połączyć z wiedzą o tym, że ułamki niewłaściwe i liczby mieszane są różnymi sposobami zapisu tego samego
    • jest dużo różnych strategii radzenia sobie z takim zadaniem: można zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy (i porównywać ułamki niewłaściwe) lub ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną (i porównywać liczby mieszane). Zwykle ta pierwsza strategia jest szybsza, ale nie zawsze, warto więc zdawać sobie sprawę, że obie są dobrymi drogami
    • w wielu sytuacjach można też szacować liczbę całości – jeśli ona jest różna, nie musimy dokładnie obliczać części ułamkowych. Warto więc dokonać w głowie próby oszacowania tego, zanim zabierzemy się do dokładnych obliczeń
    • pytania pomocnicze jeśli chcemy zamieniać na liczby mieszane: ile całości mają te liczby? jak można to sprawdzić? czy teraz możemy już rozpoznać, która z liczb jest większa?
    • pytania pomocnicze jeśli chcemy zamieniać na ułamki niewłaściwe: z ilu części (drugich/trzecich/…) składają się te liczby? jak można to sprawdzić? czy teraz możemy już rozpoznać, która z liczb jest większa?
  • Baza 70 (porównywanie ułamków właściwych o jednakowych licznikach)
    • pracę z tą bazą rozpoczynamy od porównywania ułamków o liczniku jeden. Warto uporządkować z dzieckiem to doświadczenie i już na tym etapie postarać się o sformułowanie (oczywiście w języku dziecka – staramy się zrobić to precyzyjnie, ale nie przesadzić z formalnym językiem) zasady, że im większy mianownik, tym mniejsza jest część
    • pytania pomocnicze: która część jest większa? dlaczego? (możemy wspomnieć na przykład o tym, że jeśli dzielimy całość na więcej części, to będą one mniejsze – tu wyobraźnia o dzieleniu tortu czy pizzy bardzo dzieciom pomaga)
    • na dalszym etapie pracy liczniki porównywanych ułamków są większe niż jeden, ale nadal równe w obu liczbach. Układając je z materiału, możemy zauważyć, że biorąc tyle samo części, większą liczbę uzyskamy tam, gdzie części są większe, a więc tam, gdzie mianownik jest mniejszy. Takie dwuetapowe myślenie wymaga na początku dużego skupienia i uwagi
    • pytania pomocnicze: który ułamek składa się z większych części? w którym ułamku jest więcej części? (jest ich tyle samo) Czy dzięki temu możemy określić, która liczba jest większa? (większa liczba to ta z większych części)

Życzę wam i dzieciom dużo zaskoczeń i radości z ich opisywania i dołączania do swoich matematycznych doświadczeń 🙂 Ułamki bywają zaskakujące, ale mogą stać się „zwykłe”, jeśli tylko spędzimy odpowiednio dużo czasu na ich doświadczaniu 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *