O liczbie π nie tylko na dzień π

O liczbie π mówimy dzieciom na lekcjach matematyki stosunkowo późno – dopiero w 7 klasie. Wielka szkoda… Bo zarówno o jej istnieniu, jak i o jej przybliżeniach można powiedzieć znacznie wcześniej, wyrabiając dobre intuicje geometryczne. Jeśli macie ochotę, chodźcie z nami!

Kwestię dowodu istnienia liczby π zostawmy na chwilę z boku. Spróbujemy doświadczalnie je sprawdzić, czyli zobaczyć, że średnica mieści się w obwodzie koła zawsze tyle samo razy (to właśnie liczba π – stosunek obwodu koła do jego średnicy). Potrzebna nam będzie papierowa taśma, wystarczy pociąć kartkę na paski szerokości ok. 1cm i skleić. Ja dla czytelności zdjęć użyłam zielonej taśmy do odmierzania średnic i niebieskiej do odmierzania obwodów. O średnicy możemy myśleć jako o całości, jedności. Wówczas będziemy po prostu chcieli wyrazić, jakiej wielkości jest obwód.

U najmłodszych może wyglądać to tak: weźmy jakieś koło  (proponuję średnicę 10-40cm, żeby błędy pomiaru nie zepsuły zabawy) lub przedmiot o przekroju koła. Odmierzamy za pomocą taśmy średnicę i obwód koła (taśmę ucinamy na odpowiednią długość, by powstały nam dwa paski papieru – zobaczcie, że do tego dziecko nie musi umieć używać miarki czy znać jednostek długości!).

Odmierzanie średnicy
Odmierzony obwód miski

Zaprośmy teraz dziecko do tego, żeby sprawdzić, ile razy średnica (krótszy pasek) mieści się w obwodzie (dłuższym pasku). Możemy odcinać z obwodu kolejne kawałki długości średnicy, możemy też zaznaczyć je i na przykład pokolorować na różne kolory. Najważniejsze jest to, co zobaczymy po kilkukrotnym powtórzeniu z różnymi kołami: że średnica mieści się w obwodzie trzy razy „i jeszcze trochę”. I to niezależnie od tego, jak duże koło wybraliśmy do pomiarów!

Średnica i obwód obok siebie. Z paska odpowiadającego średnicy możemy odciąć trzy paski długości średnicy, i jeszcze kawałek zostanie.

Ze starszymi dziećmi możemy zastanowić się, jak duże jest to „i jeszcze trochę” 😉 W tym celu od paska długości obwodu odcinamy trzy paski długości średnicy. Pozostały kawałek stanowi część średnicy. Jaką część? Możemy sprawdzić, ile razy mieści się w średnicy – odkładamy i zaznaczamy kolejne jego wielokrotności na pasku średnicy. Jeśli pomiarów dokonaliśmy wystarczająco dokładnie, krótki pasek powinien zmieścić się na średnicy około 7 razy, czyli stanowi około 1/7 średnicy. To oznacza, że obwód to w przybliżeniu trzy i jedna siódma średnicy. I teraz coś, co może nas, dorosłych, zaskoczyć: jest to odrobinę lepsze przybliżenie liczby π, niż używane powszechnie 3,14. Czemu więc w użyciu przyjęło się to drugie? Prawdopodobnie ze względu na używane wszędzie zaokrąglenia dziesiętne – jeśli używamy ułamka o mianowniku 7, to w praktyce i tak zaokrąglimy wynik, co będzie powodowało dodatkowy błąd.

Na pasku długości średnicy (to nasza „całość”, „jedność”) odkładamy pozostały kawałek obwodu.

No dobrze, a jeśli chcemy pokazać dziecku π w postaci ułamka dziesiętnego? Możemy zrobić podobnie, tyle że musimy operować częściami dziesiątymi i setnymi. Niestety trudno jest uzyskać części dziesiąte paska średnicy bez użycia linijki. Ale z linijką nie powinno to być problemu (szczególnie jeśli średnica ma „równą” liczbę centymetrów – wtedy jej część dziesiąta ma tyle samo, tylko milimetrów). Jeśli tylko macie dostępne koło o promieniu 20cm lub 30cm – skorzystajcie! Możecie też wykonać je z kartonu specjalnie do tego eksperymentu.

Podzielmy z dzieckiem ołówkiem pasek średnicy na części dziesiąte. Przyłóżmy pasek „i jeszcze trochę” który został nam z obwodu po odcięciu trzech średnic. Powinno udać się zauważyć, że pasek przykrywa ponad jedną dziesiątą.

Pasek średnicy został podzielony na części dziesiąte. Widać, że „pozostałość obwodu” przekracza jedną dziesiątą średnicy.

Żeby dowiedzieć się, jakie jest to „ponad”, drugą część dziesiątą na pasku średnicy podzielmy na części setne (znów przyda się ołówek i linijka) i zobaczmy, ile z nich zakrywa nasz badany pasek. W teorii powinny to być cztery części setne, ale są to już tak małe odległości, że oczywiście błędy pomiaru mogą nie pozwolić na tak dokładny odczyt π. Nie szkodzi, może to być dobry przyczynek do rozmowy o różnicach między teorią a praktyką 🙂

Druga część dziesiąta na średnicy została podzielona na części setne. Widać, że „pozostałość obwodu” dochodzi do czwartej części.

W kwestii dokładności pomiaru, warto spróbować przyjrzeć się temu, w jaki sposób go robimy. Na jakie problemy się natykamy przy mierzeniu i czy możemy jakoś na nie zaradzić?

Mierząc obwód, przykładamy pasek (lub miarkę) dookoła figury lub bryły. Jeśli figura jest bardzo płaska, możemy mieć problem z naciągnięciem paska, ponieważ będzie się zsuwać do środka figury.  Jeśli natomiast jest podłużna, o przekroju koła, pasek może nam się obsunąć z jednej strony, zawyżając pomiar. Jeśli zależy nam na dużej precyzji, zaburzyć pomiar może nawet grubość miarki czy paska, którym mierzymy obwód!

Mierzenie średnicy może wydawać się prostsze, ponieważ mamy do zmierzenia długość prostego odcinka. Problemem może być to, że niekoniecznie wiemy, gdzie on jest (chyba że nasze koło na zaznaczony środek) albo wręcz nie mamy do niego dostępu. W takiej sytuacji najlepiej posłużyć się właśnie suwmiarką! Jeśli chcecie, możecie wykonać własną.

Co ciekawe, niedokładność w przybliżeniu liczby π niepokoi wielu ludzi dużo bardziej niż ich brak precyzji w wykonywaniu pomiarów. A niesłusznie! Przy niewielkich kołach poznane przybliżenia są w zupełności wystarczające. A kolejne, łatwe do zapamiętania, 3,1415 wystarczy nawet przy dużych kołach, które spotykamy na codzień.

Po co ludzie starają się obliczyć biliony cyfr po przecinku? Z czystej ludzkiej ciekawości, która od zawsze jest główną siłą napędową rozwoju matematyki. A może po to, by wyszukać w liczbie pi swoją datę urodzenia? 😉 Jedno jest pewne: π skrywa w sobie jeszcze wiele tajemnic, ale jest zbyt ważna liczba, by jej poznawanie odkładać na później. Dlatego życzę wam dużo radości w stawianiu pytań i poszukiwaniu odpowiedzi 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *