O rozcinaniu płaszczyzny i staniu w kącie

Zacznijmy od tego, czym jest płaszczyzna? To płaska powierzchnia, nieskończenie cienka i ciągnąca się na wszystkie strony. Bez dziur, nierówności, zgrubień i niespodzianek. Życie na płaszczyźnie mogłoby być strasznie nudne (bo w każdym miejscu wygląda dokładnie tak samo), gdyby nie figury i przekształcenia, które mogą ją urozmaicić.

Dla uczniów płaszczyzną staje się często kartka papieru. Warto jednak pamiętać, że kartka zawsze pokazuje tylko fragment płaszczyzny (tak jak nie jesteśmy w stanie narysować całej prostej, tylko jej fragment).

Bierzemy nożyczki

Spróbujemy teraz uruchomić wyobraźnię i przeciąć naszą płaszczyznę na dokładnie dwie części. Możemy to zrobić na bardzo wiele sposobów. Warto pozwolić dzieciom poeksperymentować z kartką papieru, pamiętając jednocześnie, że to tylko kawałek płaszczyzny.

Są dwa główne pomysły na przecięcie kartki:

• przeciąć kartkę “od brzegu do brzegu” wzdłuż jakiejś krzywej (w szczególności wzdłuż odcinka – pamiętacie że to szczególny rodzaj krzywej? więcej w tym artykule) lub łamanej,
• wbić nożyczki w jakimś miejscu kartki i ciąć wzdłuż /krzywej łamanej zamkniętej.

Pierwszy sposób możemy wykorzystać też przy cięciu płaszczyzny. Musimy go jednak dopracować, bo płaszczyzna nie ma brzegów. Musimy więc ciąć wzdłuż czegoś, co jest nieskończone. Nie jest to takie łatwe do określenia, szczególnie jeśli krzywa, wzdłuż której przecięliśmy kartkę jest “szalona” 😉 Na pewno możemy przecięć płaszczyznę wzdłuż prostej. Otrzymamy dwie jednakowe części (choć kartka rozcięta wzdłuż dwóch odcinków niekoniecznie rozdzieli się na dwie identyczne części – tajemnicą tej identyczności jest nieskończoność naszej płaszczyzny). Każdą z nich nazywamy półpłaszczyzną. Możemy też ciąć wzdłuż dwóch przecinających się prostych, “zakręcając” ostro w miejscu ich przecięcia (tak naprawdę tniemy wzdłuż dwóch półprostych, a resztę prostych zostawiamy w spokoju). W takiej sytuacji znów otrzymamy dwie części – każda z nich jest nieskończona. Tym razem jednak powstałe części nie są jednakowe! Każda z nich (razem z brzegiem, wzdłuż którego cięliśmy) jest nazywana kątem. Im będziemy się dzisiaj jeszcze lepiej przyglądać.

Jeśli przetniemy kartkę wzdłuż pewnej krzywej albo łamanej zamkniętej, to podzielimy również płaszczyznę. Tyle, że jedna z części płaszczyzny, którą otrzymamy po cięciu, będzie nieskończona (za to z “dziurą”). Druga jest ograniczona przez linię cięcia. Jeśli cięliśmy wzdłuż łamanej, to tę “środkową” część nazywamy wielokątem. O nich dowiemy się więcej na kolejnych etapach, ale zwykle dziecko rozpoznaje już bez problemu trójkąty czy czworokąty.

Czym jest kąt, a czym nie jest? No i jak go zmierzyć?

Pokazałam znacznie więcej niż trzeba, ponieważ w ten sposób możemy podkreślić kilka ważnych cech kątów. Z doświadczenia wiem, że wielu z nich uczniowie polskich szkół sobie nie uświadamiają (oczywiście – jak zawsze – nie wszyscy). Na co więc zwrócić uwagę?

• kąt to figura nieograniczona,
• kąt tworzą nie tylko dwie półproste (ramiona kąta) o wspólnym początku (wierzchołek kąta), ale to jedna z części, na którą podzieliły płaszczyznę – wszystko co “pomiędzy ramionami” (wnętrze kąta), z ramionami włącznie, jest kątem,
• do określenia kąta nie wystarczy powiedzieć, jakie półproste go wyznaczają, trzeba również dodać o którą część płaszczyzny nam chodzi (np. dookreślając czy kąt o którym mówimy jest wypukły czy wklęsły – o tym jeszcze napiszę). Zwykle zaznaczamy to małym łukiem.
• “W kącie”, a jeszcze lepiej “we wnętrzu kąta” leżą nie tylko punkty należące do ramion kąta, ale też wszystko “pomiędzy”. Żeby stanąć w kącie, wcale nie trzeba być blisko jego wierzchołka 😉 Wręcz przeciwnie, można zajść dowolnie daleko, byle iść w dobrym kierunku 😉
• mierzenie kąta nie ma nic wspólnego z tym “jak długi jest kąt”, choć dzieciom na początku mierzenie lub słowa “duży” i “mały” właśnie z tym się kojarzą.

To właśnie z tego ostatniego powodu dobrze jest doświadczyć przykładów kątów (czy bardziej fragmentów kątów – całych kątów nie mamy szans zobaczyć ze względu na ich nieograniczoność) w rozmiarze maxi i naprawdę mocno poczuć, co to znaczy “mały” lub “duży” kąt.

W tym celu stworzyłam narzędzie bardzo podobne do kątomierza, ale zawierające całe koło (nie tylko pół, jak w tradycyjnych kątomierzach). Można je pobrać poniżej.

Co zrobić z wydrukiem? Wyciąć koło z kartonu wielkości kątomierza lub ciut większe (mnie najlepiej było je wyciąć od talerza nożykiem introligatorskim). Przyklejamy wydruki po obu stronach koła, uważając, by środki i “zera” na podziałce wypadły w tych samych miejscach. Teraz wykonujemy dziurkę na środku. Przytwierdzamy dwa kawałki sznurka – obie przewlekając przez środek i związując. Jeden powinien móc swobodnie przesuwać się po kole. Drugi ustawiamy na “zero” podziałki i mocujemy (zszywaczem, taśmą, lub nacinając lekko koło i związując w nacięciu). Kątomierz gotowy. Możemy używać go na trawie (wówczas przyda się szpilka od namiotu) lub tablicy korkowej (wtedy musimy przygotować pinezkę). Zwracam uwagę, że tarcze kątomierza nie są identyczne. Podziałki są “w różną stronę” (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie). Jedna jest bardziej matematyczna (przeciwnie do ruchów wskazówek zegara – jeśli matematykom zależy na konkretnym kierunku, to wybierają zwykle ten), druga bardziej geograficzna (np. do wyznaczania azymutów, o tym w dalszej części artykułu). Zwykle możemy korzystać z jednej lub drugiej, byle tak, jak trzeba 😉

Jeszcze lepiej jest mieć kątomierz przezroczysty – jeśli macie sztywną folię lub przezroczysty kawałek plastiku, to przerysujcie tarczę kątomierza!

Środek kątomierza odpowiada wierzchołkowi naszego kąta. Jeśli naprężymy sznurki, to będą one tworzyć ramiona kąta. Co więcej – jedna z nich od razu wskaże nam miarę kąta. Ale nie musimy tego wszystkiego tłumaczyć. Po prostu pokażmy kąt (narysowany na dużej kartce lub rozciągnięty ze sznurków na trawie) i poprośmy dziecko, by spróbowało ułożyć sznurki kątomierza w ten sam kształt. Jeśli mu się uda – wszystko będzie na swoim miejscu. Środek kątomierza dobrze jest przytwierdzić (szpilką lub pinezką).

• 

• 

Tak jak pisałam, jeden ze sznurków wskazuje nam miarę kąta. Ale którego? Półproste, które układaliśmy, wyznaczają nam przecież dwa kąty. Spróbujmy na chwilę połączyć sznurki (wystarczy przesunąć “luźny” sznurek do tego przytwierdzonego do zera), tworząc kąt zerowy (tak naprawdę ten kąt to po prostu jedna półprosta!). Teraz przesuńmy sznurek, by znów wskazywał kąt i żeby przy tym stopniowo rosła wartość wskazywana na podziałce. Sznurek przy tym ruchu przesuwa się przez wnętrze mierzonego kąta i zatrzymuje się na ramieniu, wskazując miarę kąta.

A jak zmierzyć ten drugi kąt? Możemy skorzystać z podziałki w przeciwnym kierunku albo zmienić ramię, które wskazuje sznurek z zerem. Jeśli udało nam się zmierzyć oba kąty, warto zapytać dziecko, ile te kąty mają razem? Jaka jest suma miar tych dwóch kątów, utworzonych przez te same półproste? Po dodaniu powinniśmy otrzymać 360 stopni (możliwe że ze względu na niedokładność pomiaru otrzymamy 359 czy 361 stopni – warto wówczas powiedzieć dziecku, że tak naprawdę te kąty mają 360 stopni, a błąd musiał wyniknąć z niedoskonałości przedstawienia lub pomiaru). Po kilku takich doświadczeniach warto też spytać dziecko, dlaczego zawsze otrzymujemy tyle samo. To dlatego, że razem tworzą całą płaszczyznę – kąt pełny. Przyjęło się, że ma on akurat 360 stopni.

Ci, którzy interesują się również historią matematyki, mogą poszerzyć swoją wiedzę o to, że liczba stopni pochodzi od babilońskiego systemu sześćdziesiątkowego (oni dzielili koło na 60 części – stąd liczba minut w godzinie, a przy większej dokładności na 3600 stopni – te jednak były tak małe, że zwykle używali pełnych dziesiątek tych części, czyli właśnie części 360-tych). Aby umiejscowić w czasie ten etap historii, warto zajrzeć na oś czasu.

Nazwy i rodzaje kątów

Jak nazwać kąt? Możemy zrobić to podobnie, jak robiliśmy z odcinkami czy prostymi – wskazać punkty, które go wyznaczają. Przyjęło się, by nazwę kąta tworzyć z punktu na jednym ramieniu (tutaj mamy dowolność wyboru punktu), wierzchołka (ten każdy kąt ma tylko jeden, więc wyboru nie mamy) oraz punktu na drugim ramieniu. Wierzchołek koniecznie musimy być wymieniony w środku (kąt ABC i CBA to ten sam, ale kąt ACB to zupełnie co innego!). Musimy być świadomi, że to jeszcze nie wyznacza jednoznacznie kąta, a jedynie jego ramiona i wierzchołek. Przynajmniej w szkolnej definicji, zdarzają się bowiem matematycy, którzy używają kątów skierowanych, ale to na inną opowieść… Jak wiemy, mamy dwa takie kąty o określonych ramionach. Zwykle z kontekstu wiadomo, o który kąt chodzi. Możemy też to dookreślić: jeśli chodzi o mniejszy z tych dwóch kątów, to możemy podkreślić, że chodzi nam o kąt wypukły. Ten większy z dwóch kątów to kąt wklęsły (i tutaj mały niuans: jeśli rozważamy kąt zerowy i kąt pełny, to oba będą wypukłe – zwykle w szkolnych klasyfikacjach kąt pełny jest pomijany, żeby nie mieszać…). A jeśli oba są takie same? Są to kąty półpełne (są to dwa kąty wypukłe, ale bardzo szczególne), każdy pokrywa się z półpłaszczyzną.

Kąt pełny możemy też podzielić na większą liczbę jednakowych części (doskonale nadają się do tego montessoriańskie ułamki zwykłe!). Na trzy, cztery, pięć, sześć, siedem,… Jeśli przyjrzymy się otrzymanym kątom i zastanowimy, gdzie możemy je zobaczyć, to szybko zorientujemy się, że najwięcej jest wokół nas kątów, które stanowią jedną czwartą kąta pełnego. To taki kąt, który mamy między pionem a poziomem, we wszystkich prostokątach (a jest ich naprawdę dużo w naszym otoczeniu, okazuje się, że to bardzo praktyczny kąt). Ten kąt nazywamy kątem prostym. Jest na tyle istotny, że wszystkie pozostałe kąty wypukłe dzielimy na mniejsze od kąta prostego (kąty ostre) i większe od kąta prostego (kąty rozwarte).

Czasem istotną dla nas cechą jest miara kąta. Możemy wówczas posłużyć się pionowymi kreskami jak przy długości odcinka (część matematyków umawia się też na rezygnację z nich, gdy jest oczywiste, czy chodzi o kąt czy o jego miarę). Możemy też wprowadzić oznaczenie na miarę kąta, tu przyjęło się używać małych greckich liter. Dajmy dzieciom czas na ich poćwiczenie, zanim zaczniemy ich używać w zadaniach dotyczących kątów! Przygotowałam kartę do ćwiczeń czterech najczęściej używanych do oznaczania kątów greckich liter – alfa, beta, gamma i delta.

Warto zwrócić uwagę, że tak jak na jednym rysunku mogło znaleźć się wiele odcinków tej samej długości oznaczonej a, tak samo wiele kątów może mieć miarę α (wszystkie one są “takie same” – mają tę samą miarę).

Zestawiając kwestię miary kątów i rodzajów kątów warto skupić się najpierw na kątach szczególnych:

• kąt zerowy ma 0 stopni, jak sama nazwa wskazuje,
• kąt pełny to 360 stopni,
• kąt półpełny to pół kąta pełnego, czyli 180 stopni,
• kąt prosty powstał z podziału kąta pełnego na 4 równe części, każda ma więc po 90 stopni.

Pełna klasyfikacja kątów wygląda tak:

• kąty wypukłe to te od 0 do 180 stopni (włącznie) oraz kąt pełny (360 stopni), a wśród nich:
  • kąt zerowy (0 stopni),
  • kąty ostre (między 0 a 90 stopni),
  • kąt prosty (90 stopni),
  • kąty rozwarte (między 90 a 180 stopni),
  • kąt półpełny (180 stopni),
  • i wyróżniający się wśród pozostałych kąt pełny (360 stopni).
• kąty wklęsłe (między 180 a 360 stopni).

Do czego nam te kąty?

A do czego kąty nam się przydają? Choć zdają się czymś niezależnym od długości odcinków, to często ich badanie pozwala nam dowiedzieć się czegoś o długościach odcinków. Najprostszym przykładem jest trójkąt równoramienny (jeśli wiemy, że ma dwa równe kąty, to ma również dwa równe boki).

Pomaga nam opisywać kierunki, zakręty, przechylenia…

Świetnie nadają się też do opisania trasy w pustych lub monotonnych przestrzeniach, gdzie pojęcie lewo/prawo traci rację bytu. Doskonale wiedzą o tym marynarze, żołnierze czy harcerze. Azymut to nic innego jak kąt między kierunkiem północnym, a kierunkiem w którym mamy się poruszać. Jeśli mamy pod ręką nasz kątomierz, to wystarczy wybrać tarczę “zgodną z ruchem wskazówek zegara”, ustawić sznurek “z zerem” na północ od środka, a drugi sznurek zgodnie z kierunkiem, w którym mamy się wybrać. Miara otrzymanego kąta to właśnie azymut.

I odwrotnie: jeśli ktoś poda nam azymut, to ustawiamy “zero” na północ, a drugi sznurek zgodnie z podaną wartością – i już wiemy, dokąd się kierować! Praktyka mówi, że najlepiej w takiej chwili wybrać punkt możliwie oddalony od nas, znajdujący się w tym kierunku, utkwić tam oczy i ruszać w drogę.

Jeśli spróbujecie, to szybko zobaczycie, że kierunek na wschód to azymut 90, kierunek na południe to azymut 180, a kierunek na zachód to azymut 270. Można jednak z dużą dokładnością opisać również wszystkie “pośrednie” kierunki.

Kąty również nie przez przypadek występują w szerokościach i długościach geograficznych, możemy też określić z ich pomocą wysokość gwiazdy (choćby Słońca w południe) nad horyzontem. Propozycja zabawy z tym związana czeka w następnym wpisie – zapraszam!