Mnożenie przez ułamek zwykły

We wcześniejszym wpisie pokazywałam, jak zrobić kręgle/pionki do mnożenia i dzielenia przez ułamek zwykły. Pora zobaczyć je w akcji!

Mała powtórka – czym jest mnożenie?

Żeby poznać mnożenie ułamków, musimy wrócić do podstaw. Poniżej wypisane zdania mogą wydawać się proste i oczywiste. I dobrze, jeśli takie są! Ale to właśnie one będą budowały nasze dalsze możliwości. Dlatego – zaczynajmy!

Przypomnijmy sobie, jak możemy pomnożyć 6 przez 4?

Musimy ustawić cztery pionki, każdemu z nich dać 6 jedności. Wynik możemy odczytać obliczając, ile pionki dostały razem?

Kluczowe są tutaj trzy sprawy:

  • PIERWSZY CZYNNIK mówi nam o tym, jaką wartość otrzymuje jeden pionek,
  • DRUGI CZYNNIK to liczba pionków,
  • WYNIK to wartość, jaką otrzymały wszystkie pionki razem.

Mnożymy ułamek

Spróbujmy teraz pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą. Zrobimy to na przykładzie mnożenia 1/5 przez 3.

Ponieważ mnożymy przez 3, to musimy przygotować 3 pionki. Każdy z nich otrzyma 1/5. A co będzie wynikiem mnożenia? Wartość, którą otrzymały wszystkie pionki razem! Wystarczy dodać wszystkie ułamki razem (mają te same mianowniki, więc jest to nietrudne) – wynikiem są 3/5.

Bardziej złożone przykłady to takie, w których otrzymamy ułamek niewłaściwy – istota procesu jest jednak ta sama, trudność pojawia się przy zliczaniu wyniku i nie jest duża.

W toku pracy z pomocą dziecko może zauważyć, że istotą mnożenia ułamka przez liczbę całkowitą jest pomnożenie przez tę liczbę licznika – mianownik zostaje taki sam, jak był (o tym, że można skracać, napiszę jeszcze później). Poniżej możecie porównać mnożenie 2 przez 3 oraz 2/7 przez 3.

Więcej ułamków 🙂

Tym razem spróbujemy pomnożyć coś przez ułamek. Zaczniemy od ułamków o liczniku 1 i przejdziemy przez dwie sytuacje: takie, w których licznik pierwszego czynnika dzieli się przez mianownik drugiego i takie, w których są one względnie pierwsze. Oczywiście nie tłumaczymy dzieciom jak dobrane są przykłady, po prostu z doświadczenia wiem, że tak dobrane przykłady są ważnym elementem. Później opowiem jeszcze o sytuacji, w której te dwie wartości mają wspólny dzielnik (czyli można “trochę skrócić”).

Zacznijmy od pomnożenia 6 przez 1/3. To właśnie teraz przydadzą nam się kręgle do ułamków.

Mnożymy liczbę sześć, więc każdy pionek będzie otrzymywać wartość 6. A ile będziemy mieć pionków? Jedną trzecią! Sięgnijmy więc po kręgiel podzielony na części trzecie. Na początku stawiamy wszystkie części razem, bo wiemy, jaką wartość ma otrzymać cały pionek. Obok kręgla kładziemy wartość sześć. W następnym kroku rozdzielamy kręgiel na części, każdą ustawiając oddzielnie, i jednocześnie rozdzielamy sześć (każda część pionka otrzyma dwa). Pora na odczytanie wyniku – mnożymy przez 1/3, więc wynikiem jest wartość, jaką otrzymała jedna trzecia pionka. Teraz już wiemy, że jest to 2 🙂

Równie dobrze możemy pomnożyć dwa ułamki, na przykład 9/10 przez 1/3.

Mnożymy liczbę dziewięć dziesiątych, więc każdy pionek będzie otrzymywać właśnie taką wartość. A ile będziemy mieć pionków? Jedną trzecią! Bierzemy cały kręgiel podzielony na części trzecie i obok niego kładziemy wartość 9/10. W następnym kroku rozdzielamy kręgiel na części, każdą ustawiając oddzielnie, i jednocześnie rozdzielamy 9/10 (każda część pionka otrzyma trzy części dziesiąte). Pora na odczytanie wyniku – mnożymy przez 1/3, więc wynikiem jest wartość, jaką otrzymała jedna trzecia pionka. Teraz już wiemy, że jest to 3/10 🙂

Po dłuższej pracy z podobnymi przykładami dziecko może sformułować wniosek, że mnożenie przez ułamek o liczniku jeden jest tym samym, co dzielenie przez mianownik tego ułamka. Można je zrobić dzieląc liczbę całości (jeśli mówimy o mnożeniu liczby całkowitej) lub licznik mnożonego ułamka (jeśli chcemy pomnożyć ułamek). Warto od razu pokazać dziecku sposób zapisu tego rozumowania, podobny do skracania ułamków.

A co, gdy nie chce się równo rozdzielić…?

Spróbujmy teraz pomnożyć 1/2 przez 1/4. Zaczniemy znów od przypomnienia znaczenia obu liczb. Mnożymy 1/2, więc taką wartość otrzyma jeden pionek. Wynikiem będzie wartość, którą otrzyma 1/4 pionka, więc użyjemy pionka podzielonego na ćwiartki.

Zaczynamy od postawienia całego pionka (złożonego z czterech ćwiartek) i umieszczenia obok ułamka 1/2. Teraz chcemy rozdzielić pionek, a więc również rozdzielić między części pionka jedną drugą. Tym razem trudniej to zrobić, bo mamy tylko jedną część ułamka. Co w takim razie? Do akcji wkracza “rozmienianie”, czyli rozszerzanie ułamków. Skoro chcemy rozdzielić 1/2 między cztery części pionka, musimy rozmienić ją na cztery części – otrzymamy w ten sposób 4/8. Teraz już bez problemu możemy rozdzielić tę wartość między cztery części pionka: każda otrzyma 1/8. Wynikiem jest właśnie wartość otrzymana przez 1/4 pionka, czyli 1/8.

Spróbujmy jeszcze pomnożyć 3/5 przez 1/2. Będziemy mnożyć przez 1/2, więc potrzebujemy połowy pionka. Wybieramy więc pionek podzielony na dwie części i obok niego kładziemy ułamek o wartości 3/5. Chcemy teraz podzielić ułamek na części, jednocześnie dzieląc wartość 3/5. Rozkładamy pionek na dwie połowy. Na dwie części “rozmieniamy” również każdą część piątą w naszym ułamku – każda część pionka dostanie trzy razy 1/10, czyli 3/10. I to jest właśnie wynik naszego mnożenia.

Uwaga: Niektóre dzieci chcą rozdzielić 3/5 w takim przykładzie następująco: każda część pionka dostaje po jednej części piątej, a trzecią część piątą rozdzielamy na dwie części dziesiąte i rozdzielamy między części pionka. W takiej sytuacji jedna część pionka otrzymuje 1/5+1/10, co również jest poprawnym wynikiem, ale wymaga jeszcze wykonania dodawania. Przy dodawaniu i tak musimy zadbać o wspólny mianownik, co sprawia, że dochodzimy do dokładnie tego samego, ale dłuższą drogą. We wpisie o mnożeniu liczb mieszanych pokażę jednak, że takie podejście i “kombinowanie” może czasem oszczędzić nam pracy.

Po dłuższej pracy z podobnymi przykładami dziecko może sformułować wniosek: mnożenie przez ułamek o liczniku jeden polega na pomnożeniu mianownika pierwszego czynnika przez mianownik ułamka, przez który mnożymy.

Mnożenie przez ułamek z licznikiem większym od 1

Spróbujemy tym razem przyjrzeć się mnożeniu przez ułamek i liczniku innym niż 1. Jest to bardzo podobny proces, ale wymaga więcej skupienia przy odczytaniu wyniku – wynikiem będzie wartość przy kilku częściach pionka razem, a nie przy jednym. Przy ułamkach o mianownikach do 10 możliwości dobrania przykładów są bardzo ograniczone, ja polecam ułamki o mianownikach do 20 i na takich będę prezentować przykłady.

Spróbujmy pomnożyć 8/11 przez 3/4. Ponieważ mnożymy przez 3/4, użyjemy pionka podzielonego na ćwiartki. Stawiamy go, a obok niego kładziemy ułamek 8/11. Teraz rozdzielamy pionek na cztery części, jednocześnie rozdzielając ułamek – obok każdej części będzie teraz leżał ułamek 2/11. Wynikiem będzie wartość, jaką otrzymało 3/4 pionka, więc bierzemy trzy części i łączymy leżące przy nich ułamki – razem jest to 6/11.

Spróbujmy jeszcze wykonać takie mnożenie, gdy licznik pierwszego czynnika nie dzieli się przez mianownik drugiego. Pomnożymy 4/5 przez 2/3. Stawiamy ułamek podzielony na części trzecie, a obok niego kładziemy ułamek 4/5. Teraz rozdzielamy pionek, a to wymaga również rozdzielenia ułamka. Jak to zrobić? “Rozmieniamy” każdą 1/5 na 3/15 i rozdzielamy każdej części pionka. W ten sposób każda część pionka otrzyma cztery części piętnaste (po jednej z każdej części piątej). Jeśli chcemy odczytać wynik, musimy sprawdzić, ile części otrzymały 2/3 pionka – jest to 8/15.

Dziecko po jakimś czasie pracy z tak dobranymi przykładami (szczególnie w zestawieniu z mnożeniem przez taki sam ułamek, ale z licznikiem 1) może sformułować wniosek: mnożenie przez ułamek to dzielenie przez jego mianownik i mnożenie przez jego licznik. To dzielenie przez mianownik może “zadziać się” na dwa sposoby: przez podzielenie licznika mnożonego ułamka (towarzyszy temu odpowiedni zapis “skracania”) albo przez pomnożenie jego mianownika. Mnożenie przez licznik drugiego czynnika realizujemy mnożąc przez niego licznik pierwszego czynnika.

A co z tym skracaniem…?

Do tej pory dobierałam przykłady w określony sposób. Do “kompletu” wiedzy o mnożeniu ułamków brakuje nam jeszcze dwóch spostrzeżeń dotyczących skracania. Zapraszam do ich odkrycia 🙂

Pomnóżmy 6/7 przez 3/4. Pionek (złożony z czterech części) otrzymuje ułamek 6/7. Jeśli będziemy chcieli rozdzielić te sześć części ułamka między cztery części pionka, to odkryjemy, że się nie da. Możemy w takim razie “rozmienić” 6/7 na części… dwudzieste ósme. Ale na to nie pozwala nam materiał (jak to dobrze, prawda? ;)). Ale możemy pomyśleć jeszcze inaczej: rozdzielić pionek najpierw na połowy (każda z nich składa się z dwóch ćwiartek), każda połowa pionka otrzyma ułamek 3/7. Teraz każdą z połów możemy rozdzielić na ćwiartki pionka. Każdą z części siódmych w naszych ułamkach musimy przy tym “rozmienić” na części czternaste. Przy takim rozmienieniu i rozłożeniu przy każdej ćwiartce pionka znajdzie się wartość 3/14. Wynikiem działania jest wartość, którą otrzymuje 3/4 pionka, jest to 9/14.

W takim razie naszym pierwszym odkryciem jest to, że możemy nie tylko dzielić licznik pierwszego czynnika przez mianownik drugiego, ale również dzielić licznik pierwszego czynnika i mianownik drugiego przez taką samą liczbę (w przykładzie było to dwa). Jest to typowe “szkolne” skracanie.

Warto również pokazać dziecku skracanie “w drugą stronę” – mianownika pierwszego ułamka z licznikiem drugiego ułamka. Argumentować możemy to na różne sposoby, np. przemiennością mnożenia. Ja niektórym uczniom pokazuję również inny sposób mnożenia (wymaga niestety kilku jednakowych kręgli do mnożenia, zwykle nie ma ich na wyposażeniu pracowni montessoriańskich):

jeśli chcemy pomnożyć ułamek np. przez 2/3, to możemy zrobić to inaczej niż dzieląc przez 3 i mnożąc przez 2 (tak pracujemy zwykle z pionkami). Zamiast tego możemy najpierw pomnożyć przez 2, a dopiero potem podzielić przez 3. Dlaczego? Jeśli wiemy, ile otrzymuje jeden pionek (układamy go z części trzecich), możemy ułożyć również drugi pionek (też z części trzecich) i dać mu taką samą wartość. Następnie możemy podzielić te dwa pionki na trzy – układając trzy grupy po dwie trzecie pionka. Przy tym rozkładaniu wartość ułożoną przy dwóch pionkach musimy podzielić na trzy. Jeśli tak do tego podejdziemy, moment mnożenia przez 2 jest tą chwilą, kiedy możemy wykonać skracanie – jeśli mianownik mnożonego ułamka jest parzysty, to w momencie mnożenia możemy zauważyć, że wystarczy każdą część zamienić na dwa razy większą (czyli taką o dwa razy mniejszym mianowniku).

Zamieniamy kolejność

A teraz propozycja dla ciekawskich – nie jest to standardowa kolejność wprowadzania mnożenia przez ułamek, ale bardzo wartościowa lekcja o przemienności mnożenia

Jak to zrobić? Po prostu spróbować różnych kolejności! Zaczynaliśmy od mnożenia 1/5 przez 3. Spróbujmy teraz zamienić kolejność i pomnożyć 3 przez 1/5. Oczywiście przyzwyczajeni do przemienności mnożenia, spodziewamy się takiego samego wyniku, ale dlaczego…? Spróbujmy zobaczyć to od samego początku.

Jeśli mnożymy przez 1/5, to będziemy potrzebowali jednej piątej pionka! Pierwszy czynnik, trzy, mówi nam o tym, jaką wartość otrzyma jeden pionek. Weźmy więc pionek podzielony na pięć części i połóżmy obok niego trzy całości (tym razem warto pokusić się, by nie były to znaczki, ale całości z pudełka ułamków).

Jaką wartość otrzyma jedna piąta pionka? Musimy pionek rozdzielić, a wraz z nim “sprawiedliwie” podzielić trzy całości. Każdą z nich musimy rozdzielić na pięć części (a więc na pięć części piątych!). Wtedy już zrobimy podział bez kłopotu – każda jedna piąta pionka otrzyma wartość trzy piąte. I właśnie ta wartość jest wynikiem mnożenia, tak samo jak przy mnożeniu 1/5 przez 3.

Liczby mieszane

Liczby mieszane generują kolejne odkrycia w zakresie mnożenia i dzielenia. Ale o tym będzie już w innym wpisie 🙂 To właśnie tam montessoriański materiał pozwoli nie tylko dojść do szkolnej metody mnożenia liczb mieszanych, ale również pozwoli wymyślić w niektórych sytuacjach inną, łatwiejszą drogę 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

2 komentarze “Mnożenie przez ułamek zwykły”

preloader