Geometria, co chodzi własnymi drogami

Dziś bawiliśmy się trochę w przeplatanki. Wszystko po to, by odkrywać podstawowe pojęcia geometrii: punkt, odcinek, łamaną, prostą i półprostą. Zapraszam do odkrywania z nami!

Wszystko zaczyna się od punktu

Punkty to takie najmniejsze składowe w geometrii – jak ziarenka piasku czy mąki komórki w organizmach, atomy w materii… A tak naprawdę jeszcze mniejsze! Choćbyśmy narysowali je najlepiej zaostrzonym ołówkiem, to zawsze „kropka” będzie za duża, bo powinna być „nieskończenie mała”! Warto być tego świadomym, że pojęcia geometryczne są pewną abstrakcją, którą rzeczywistość może tylko naśladować.

Punkty są wszędzie. Nieważne, czy gdzieś punkt narysujemy i podpiszemy, czy nie – on tam jest 😉 Ja przygotowałam karton, na którym zamiast narysowanych punktów znalazły się dziurki, które miały te punkty reprezentować. Dlaczego dziurki? To się jeszcze okaże 😉

Opowiedziałam dzieciom o punktach i o tym, że matematycy zwykle nazywają je dużymi literami – to taki imiona punktów. Co ważne, żadne imię nie może się powtórzyć (przynajmniej w obrębie jednego rysunku/zadania itp.). Poprosiłam dzieci o podpisanie punktów oznaczonych dziurkami. I już mieliśmy punkty J, B, A, Z, K, E, L, O. Ponieważ podpisywali we dwóch, przed umieszczeniem każdego podpisu upewniali się, czy brat jeszcze nie wykorzystał wybranej przez nich litery.

Wyruszamy w drogę z A do B

Teraz do akcji wkraczają sznurki. Poprosiłam, żebyśmy wetknęli końce sznurka w dziurki A i B. Położyliśmy sznurek i co powstało? Krzywa AB.

Może to zresztą być też krzywa BA – dyskusja nad tym, która nazwa jest bardziej pasująca była bardzo angażująca:

  • bo może decydować na podstawie tego, który koniec sznurka włożyliśmy wcześniej? (ale przecież sznurek tylko reprezentuje krzywą)
  • może odczytywać końce „od góry do lewej” (ale co z pionowym przesunięciem między punktami na końcach? albo co jeśli spojrzymy od innej strony?) albo „od lewej do prawej”?
  • może alfabetycznie? (tylko czy każdy matematyk dobrze zna alfabet? a co jeśli nazwiemy punkty inaczej niż literami?)

Krzywa powinna być w miarę gładka (nie zakręcać „nagle”, tylko „po trochu”) – zapewnia nam to natura sznurka. Jest też nieskończenie cienka (sznurek tylko ją reprezentuje). Formalna definicja krzywej jest bardzo skomplikowana (nawet dla studentów matematyki!), ale te dwie intuicje warto przekazać dziecku.

Zadaliśmy sobie jeszcze jedno pytanie: czy na krzywej AB (tej ułożonej na poniższym zdjęciu) leżą jakieś punkty? Tak! Na pewno leżą na niej punkty A i B (końce też należą do krzywej), ale też mnóstwo (nawet nieskończenie wiele!) innych punktów, tyle że… żaden z nich nie został przez nas zaznaczony i nazwany.

Ostatecznie podsumowaliśmy sobie, że nie ma to znaczenia i obie nazwy oznaczają dokładnie to samo. Jednocześnie może być wiele różnych krzywych AB. Wśród nich tylko jedna jest najkrótsza – to odcinek. Powstaje gdy naciągniemy końce sznurka. Odcinek to droga najkrótsza, prościutka i jest wyjątkową krzywą. Tak! Taki prosty odcinek jest krzywą, bo krzywa… nie musi być krzywa 😀

Odcinek AB to dokładnie to samo, co odcinek BA (podobnie jak z krzywymi). Czasami matematycy nazywają odcinki krócej – jedną, małą literą. Zwykle ta litera oznacza nie tyle sam odcinek, co jego długość – w takiej sytuacji kilka odcinków tej samej długości możemy oznaczyć tą samą literą. Na odcinku mogą leżą (lub „do odcinka należą”) też inne punkty niż końce. Jest ich tam nieskończenie wiele, ale możemy poszukać ich wśród tych, które zostały przez nas zaznaczone.

Drogi z przystankami

Czasem wyruszamy w drogę, ale po drodze potrzebujemy odwiedzić jeszcze kilka innych miejsc. Wówczas nasza droga, choćby najkrótsza, nie jest odcinkiem. Składa się z kilku odcinków pomiędzy poszczególnymi odwiedzanymi miejscami. Takie odcinki, z których każdy kolejny zaczyna się w punkcie, w którym kończy się poprzedni, tworzą łamaną. Łamaną nazywamy od punktów „postojowych”, przy czym podobnie jak odcinek łamana nie ma kierunku – „łamana BAEZL” i „łamana LZEAB” to dwa określenia tej samej łamanej.

W tym momencie moje dzieci zauważyły, że nazwy łamanych mogą tworzyć słowa. Tak powstały łamane ELZA i BAJZEL 😀 To skłoniło mnie do opowiedzenia im, że łamane dzielimy na zwyczajne (w których odcinki tworzące łamaną mają wspólne tylko końce), takie jak LZEAB i ELZA, i łamane wiązane jak BAJZEL (w nich odcinki tworzące łamaną mogą się przecinać. Mamy też drugi podział łamanych, na łamane otwarte (które zaczynają się i kończą w różnych punktach) i łamane zamknięte (one „wracają do punktu wyjścia”). W nazwie łamanej zamkniętej pierwsza i ostatnia litera są jednakowe, właśnie by ten powrót podkreślić. Łamaną wiązaną zamkniętą jest np. łamana KLEJAK z naszego zdjęcia. A łamane zwyczajne zamknięte? To brzegi wielokątów 🙂

Ruszamy w świat

Odcinek to najkrótsza droga o ustalonym początku i końcu. Ale przecież możemy się nie zatrzymać i wyruszyć dalej!

Jeśli przedłużymy odcinek w obie strony to otrzymamy prostą. Prosta jak sama nazwa wskazuje musi być prosta. Nie ma końców! Nie możemy jej całej zaprezentować całej za pomocą sznurka, ponieważ „ciągnie się w nieskończoność”, dlatego każdy rysunek pokazuje tylko pewien jej fragment. Również sznurek (choćbyśmy rozciągnęli całą szpulkę nici!) nie pokaże nam jej całej. No nic, trudno, spróbujmy pokazać chociaż kawałek – rozciągnijmy sznurek tak, by przechodził przez dwa wybrane przez nas punkty, poniżej są to punkty B i K.

Znowu zauważymy, że tą prostą możemy nazwać „prosta BK”, ale równie dobrze „prosta KB”. Leżą na niej wszystkie punkty, które leżą na odcinku BK, ale też mnóstwo innych punktów – wśród nich jeden który był u nas zaznaczony, punkt E (na zdjęciu schował się pod sznurkiem, więc jest słabo widoczny). Teraz zastanowiliśmy się nad tym, czym jest prosta BE? To dokładnie to samo. To oznacza, że ta prosta ma jeszcze więcej nazw: prosta BE, prosta EB, prosta KE, prosta EK to również jej nazwy. A czemu odcinek miał tylko dwie nazwy? Ano dlatego, że nazywaliśmy go od końców. Na prostej każdy punkt jest „tak samo ważny”, do jej nazwania możemy wybrać dowolne dwa. To dzięki temu, że przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta (zupełnie inaczej było z krzywymi, pamiętacie?). Prostą można również nazwać małą literą (tym razem na pewno nie będzie ona oznaczać długości, jak u odcinka – przecież prostej nie możemy zmierzyć!).

A jeśli odcinek BK „przedłużymy” tylko w jedną stronę, np. w stronę punktu K, a nie w obie jak przy prostej? Wkładamy sznurek do dziurki B i naciągamy go tak, by przechodził przez punkt K. Powstała nam półprosta. Podobnie jak w przypadku prostej, całej półprostej nie damy rady zaznaczyć sznurkiem, ani nawet super-długą-nitką. Półprosta zawsze wychodzi poza zakres naszych doświadczeń, na szczęście może cała zmieścić się w naszej wyobraźni.

A jak nazywamy półproste? Znowu od dwóch punktów, które do niej należą, ale pierwszy punkt w nazwie musi być końcem półprostej. To sprawa, że półprosta BK i półprosta KB to dwie różne półproste. Czy w takim razie półprosta może mieć tylko jedną nazwę? Nic takiego! Na przykład u nas półprostą BK możemy nazwać też półprostą BE.

Dokąd potem?

Bardzo zachęcam do badań przeróżnych odcinków, prostych, półprostych, łamanych i krzywych. Pytań można zadać naprawdę wiele:

  • jakie punkty leżą na tym odcinku/prostej/półprostej?
  • czy cały odcinek … mieści się w prostej/półprostej …
  • jakie muszą być dwa odcinki, by ich połączeniem był jeden odcinek?
  • jakie dwie półproste po połączeniu dadzą prostą?
  • czy da się uzyskać prostą/półprostą z połączenia odcinków?

Jeśli dziecko umie już mierzyć długość odcinka, możemy zapytać też:

  • czy można zmierzyć długość łamanej/krzywej? jak można to zrobić?
  • czy możesz utworzyć dwie krzywe AB, które mają taką samą długość, ale nie mają wspólnych punktów poza A i B?
  • czy łamana złożona z czterech odcinków musi być dłuższa niż łamana z trzech odcinków?

A najlepsze pytania i tak wymyślą dzieci!

Możemy też zbadać kierunek prostych czy odcinków, ich prostopadłość i równoległość. Kolejne kroki w geometrii to już figury dwuwymiarowe – kąty, wielokąty, koła. Będziemy je badać w następnych wpisach!

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *