Ułamki dziesiętne – przystępne bardziej niż myślisz :)

Z ułamkami dzieci stykają się znacznie wcześniej, niż mogłoby się wydawać. Ułamki zwykłe najczęściej pojawiają się w tekstach i codziennych sytuacjach tylko w najprostszej postaci: połowa, ćwierć, ewentualnie jedna trzecia czy dwie trzecie. Ułamki dziesiętne natomiast towarzyszą nam w przeróżnych tekstach drukowanych: w cenach, na opakowaniach jedzenia i picia, w książkach zawierających różne dane (długość, masę, wielkości wyrażone w milionach czy miliardach). Moje dzieci zaczęły dopytywać o nie bardzo wcześnie, w zasadzie gdy tylko poznały zapis liczb i nauczyły się czytać (obie te umiejętności zdobyły w podobnym czasie). Rozmowy o ułamkach są dla dzieci bardzo pociągające: tak jak w naturalny sposób interesują się tym, co ogromne, tak samo mogą zafascynować się tym, co bardzo małe.

Do poznawania ułamków nie trzeba wcale dużej wiedzy wstępnej. W przypadku ułamków dziesiętnych jest to ugruntowane rozumienie działania systemu dziesiętnego. Dziecko może umieć już wykonywać wszystkie działania na liczbach naturalnych, ale jeśli nie… nic straconego! Może poznać ułamki dziesiętne, ich odczytywanie, porównywanie i te działania, które opanowało w przypadku wielkich liczb. Jeśli tylko dziecko jest zainteresowane tematem, nie bójcie się pójść za nim! Postaram się pokazać, jak można o tym temacie opowiadać i jak dać dziecku doświadczyć, jak ułamki dziesiętne „działają”.

Jak pokazać ułamki dziesiętne?

Metoda Montessori podpowiada nam to samo, przy każdej nowej umiejętności: do abstrakcji trzeba dojść przez konkret. Maria Montessori zaproponowała pomoc w postaci drewnianych sześcianików, których kolory nawiązują do kolorów montessoriańskich znaczków (nie są jednakowe, ale jaśniejsze). Nie będę tutaj opisywać standardowej pomocy, ponieważ dostosowałam ją do swoich możliwości. Osoby, które tą oryginalną pomoc posiadają nie będą mieć większych problemów, by w poniższych zdjęć i opisów zrozumieć zasadę pracy z nią.

Ze względu na etap, na którym znajdują się dzieci poznające ułamki dziesiętne (mają już opanowany system dziesiętny w zakresie liczb naturalnych), konkret jest już częściowo abstrakcyjny – wartość poszczególnych elementów pomocy dziecko pozna w czasie prezentacji materiału, nie może jej w pełni doświadczyć. Jeśli będzie to barierą dla dziecka, można pokusić się o analizę podobną jak w geometrycznej hierarchii liczb, przy czym jedność powinna być duża (np. sześcian o krawędzi 100cm), a części dziesiętne, setne, tysięczne itd. odpowiednimi mniejszymi częściami (zachęcam wówczas do ich oznaczenia kolorystycznego zgodnego z używaną pomocą).

Kluczową dla dziecka informacją jest to, że „to co po zapisujemy po przecinku” w pewien sposób opisuje pewną część jedności. Prezentację warto zacząć od przypomnienia, w jaki sposób można było zamieniać w systemie dziesiętnym elementy wyższego rzędu na te niższego rzędu: jeden tysiąc to dziesięć setek, jedna setka to dziesięć dziesiątek, jedna dziesiątka to dziesięć jedności. W tym momencie możemy zapytać dziecko, co by się stało gdybyśmy chcieli „rozmienić” jedność na dziesięć mniejszych części lub opowiedzieć mu jak to wygląda. Jeśli dziecko zna ułamki zwykłe, to oczywiście należy przypomnieć ułamek zwykły 1/10, ale taka wiedza u dziecka wcale nie jest konieczna! Jeśli ułamków zwykłych jeszcze nie zna, warto wziąć np. jabłko i zaproponować, że podzielimy je na dziesięć części. Opowiadamy dziecku, że takie części jedności będziemy nazywać częściami dziesiątymi i oznaczymy żetonem koloru jasnoniebieskiego (dla osób, które nie mają obycia z pomocami montessoriańskimi przypominam, że kolorem niebieskim oznaczane były dziesiątki). O liczbie części dziesiątych informuje nas pierwsza cyfra umieszczona po przecinku. Warto też zaznaczyć, że przecinek jest nam niezbędny: gdybyśmy go nie napisali, nie bylibyśmy w stanie stwierdzić, w którym miejscu naszej liczby jest cyfra jedności.

Podobnie wprowadzamy kolejne części – opowiadamy dziecku, jednocześnie odpowiednio rozmieniając i prezentując żetony. Jeśli „rozmienimy” część dziesiątą na dziesięć elementów, to będą to części setne. Oznaczamy je kolorem różowym (czerwone są setki) a o ich liczbie informuje nas druga cyfra po przecinku. Jeśli rozmienimy część setną na dziesięć elementów, to będą to części tysięczne. Oznaczamy je kolorem jasnozielonym (zielone są tysiące), a o ich liczbie informuje nas trzecia cyfra po przecinku. Podobnie wprowadzamy części dziesięciotysięczne, stutysięczne i milionowe.

Teraz czas na działanie dziecka. Prowadzimy lekcję trójstopniową (pierwszy etap, prezentacji, mamy już za sobą), by dziecko zaczęło rozpoznawać żetony po nazwie (prosimy np. „połóż tutaj dwie części dziesiąte i pięć części tysięcznych”), a później nazywać (układamy różne żetony i pytamy o to, jakie żetony zostały ułożone).

Ułamek 0,79 ułożony na tabliczkach oraz żetonach. Na początkowym etapie dla dziecka jest to liczba „siedem części dziesiątych i dziewięć części setnych”.

Ważne jest również powiązanie nazw i żetonów z zapisem liczby. W tym pomagają tabliczki, analogiczne do tych do podpisywania złotego materiału czy znaczków. Na tym etapie operujemy tylko na części ułamkowej liczby (i ewentualnie jednościach, bez wyższych rzędów) i pozostajemy przy nazewnictwie typu „siedem części dziesiątych i dziewięć części setnych”. Pokazujemy dziecku, że mając ułożoną liczbę z żetonów możemy ułożyć z tabliczek jej zapis: z najkrótszych tabliczek wybieramy liczbę części dziesiątych, z kolejnych – liczbę części setnych itd., a następnie składamy tabliczki jedna na drugą w taki sposób, by przecinki pokryły się ze sobą (jest to po prostu wyrównanie po lewej krawędzi tabliczek, ale warto podkreślać właśnie pokrycie się przecinków). Ćwiczymy tę umiejętność w obie strony (układanie tabliczek na podstawie żetonów i odwrotnie), również na liczbach, które nie zawierają niektórych rodzajów części (np. mają części dziesiętne i tysięczne, a nie mają setnych).

Kolejnym etapem jest przećwiczenie zamiany rzędów wyższych na niższe i odwrotnie. Doskonałym ćwiczeniem jest rozwinięcie „gry w dziewięć”. Może ono przebiegać w różny sposób, na przykład możemy ułożyć po dziewięć żetonów każdego dostępnego rodzaju (u mnie są to żetony od części dziesiątych do milionowych). Prosimy dziecko o ułożenie zapisu tej liczby z tabliczek. Następnie dokładamy jeszcze jedną, najmniejszą część (u mnie jest to część milionowa) i mówimy o tym, że aby odczytać tą liczbę, będziemy musieli dokonać zamian, ponieważ części milionowych jest aż dziesięć. Zamieniamy dziesięć części milionowych na część stutysięczną. Teraz mamy dziesięć części stutysięcznych, które zamieniamy na część dziesięciotysięczną. Teraz pokazujemy kolejne zamiany (możemy też oddać inicjatywę dziecku), aż w końcu dziesięć części dziesiątych zamieniamy na jedność. Jest to bardzo ważne doświadczenie: liczbę 0,999999, która w zapisie może wydawać się ogromna, po dodaniu jednej malutkiej części milionowej zamieniliśmy w liczbę jeden. To pokazuje, dlaczego każda część ułamkowa jest mniejsza od jedności! Będę do tego wracała we wpisie o porównywaniu ułamków dziesiętnych.

Doskonałym ćwiczeniem na zamianę rzędów jest też stopniowa nauka odczytywania ułamków dziesiętnych w prawidłowy sposób. W języku polskim jest to umiejętność trudniejsza niż w większości innych języków (tam część po przecinku/kropce odczytujemy cyfra po cyfrze, w języku polskim jest to znacznie bardziej skomplikowane). Proponuję by naukę podzielić na etapy. Do każdego z nich opracowałam Bazę wraz z kontrolą błędu.

  • Rozpoczynamy od tego, co dziecko już wie: nazywania liczb, w których jest tylko jeden rodzaj żetonów (np. siedem setnych lub osiem dziesiątych). To etap ugruntowania pracy z tabliczkami. Takie przykłady znajdują się w Bazie 49.
  • Na kolejnym etapie musimy pokazać dziecku, jak poradzić sobie z prawidłowym nazwaniem ułamków, które zawierają kilka rodzajów żetonów. Pokazujemy dziecku, że w tym celu musimy zamienić wszystkie żetony na żetony tego samego rodzaju: na przykład jeśli mamy liczbę 0,13, to układamy jedną część dziesiątą i trzy części setne. Następnie część dziesiątą rozmieniamy na dziesięć części setnych. W ten sposób widzimy, że nasza liczba składa się łącznie z trzynastu części setnych i możemy ją odczytać: trzynaście setnych. Początkowo ćwiczymy to na liczbach złożonych z żetonów dwóch rodzajów żetonów z „sąsiednich” rzędów. Później pokazujemy jak wygląda dalsze rozmienianie (np. zamieniając część dziesiątą na tysięczne, rozmieniamy ją najpierw na dziesięć części setnych, a każdą z nich na dziesięć części tysięcznych – otrzymujemy sto części tysięcznych). Przygotowane przeze mnie żetony mają po 100 żetonów jednego rodzaju, można więc taką zamianę zrobić początkowo na konkrecie. Przykłady pozwalające ugruntować i sprawdzić ten etap znajdują się w Bazie 50.
  • Na ostatnim etapie łączymy nazywanie części ułamkowych z nazywaniem liczb naturalnych. Jeśli dziecko potrzebuje, możemy robić to najpierw na znaczkach (wówczas z tabliczek układamy oddzielnie zapis części całkowitej liczby, oddzielnie części ułamkowej i nakładamy na siebie – koniec części całkowitej musi pokryć się z przecinkiem). Część dzieci nie będzie już miała takiej potrzeby i od razu poradzi sobie z odczytywaniem i zapisywaniem liczb. Takie przykłady można znaleźć w Bazie 51.

Jak wykonać pomoc?

Pomoc powinna zostać wykonana spójnie z posiadanymi montessoriańskimi znaczkami. W zakładce Narzędzia można znaleźć wszystkie potrzebne do tego pliki, umieszczam je również tutaj.

Jeśli nie masz oryginalnej pomocy z kostkami ułamków dziesiętnych, zachęcam do wykonania znaczków. Możesz pobrać je i wydrukować na kolorowo lub na czarno-biało (wówczas kolejne strony powinny zostać wydrukowane na kartkach: jasnoniebieskiej, różowej i jasnozielonej).

Również tabliczki znajdziesz w wersji do wydrukowania na kolorowo i czarno-biało (w tym drugim przypadku, odpowiednio pomaluj cyfry na tabliczkach).

Zachęcam również do wykonania maty (może być z grubszego lub zalaminowanego papieru albo materiału), na której znajdują się kolumny do umieszczania poszczególnych rodzajów żetonów. Pomaga to w porządkowaniu ich i łączeniu z odpowiednimi tabliczkami. Możesz wydrukować ją z pliku. Jeśli nie masz kolorowej drukarki, nic nie szkodzi – możesz w miejscu kolorowych liczb nakleić fragmenty kartek, na których zostały wydrukowane żetony. Do ułamków dziesiętnych spokojnie wystarczą dwie strony (druga i trzecia).

Bez wielkich kłopotów można również wykonać ją samodzielnie, przy czym warto pamiętać o

  • oznaczeniu poszczególnych kolumn kolorami i liczbami,
  • pogrubieniu kreski oddzielającej część całkowitą od ułamkowej (to w tym miejscy wypada przecinek w ułamku),
  • odpowiedniej szerokości kolumny (4cm, jeśli korzystacie z tabliczek z Ekspedycji, lub szerokość zgodna z waszymi tabliczkami),
  • wysokości maty na tyle dużej, by każda kolumna mieściła swobodnie co najmniej 10 żetonów.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *